[논문 리뷰] The Witten Index for One-dimensional Non-unitary Quantum Walks with Gapless Time-evolution

Keisuke Asahara, Daiju Funakawa외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 67인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이전에 유니터리이고 본질적으로 갭이 있는 양자 산책에 국한되어 있던 위튼 지수 이론을 비유니터리이고 갭이 없는 1차원 양자 산책으로 확장한다. 점 渐진적으로 일정한 매개변수를 갖는 비유니터리 시간 진화 연산자 𝑈mko를 구성함으로써, 본질 스펙트럼에 ±1 이 포함되어 있을 경우에도 잘 정의된 프리드홀름 지수를 정의한다. 이는 갭이 없는 영역에서도 위튼 지수가 0이 아닐 수 있음을 보여주며, 일반화된 비유니터리 양자 산책 모델의 지수와 본질 스펙트럼에 대한 완전한 분류가 핵심 기여이다.

ABSTRACT

Recent developments in the index theory of discrete-time quantum walks allow us to assign a certain well-defined supersymmetric index to a pair of a unitary time-evolution $U$ and a $\mathbb{Z}_2$-grading operator $\varGamma$ satisfying the chiral symmetry condition $U^* = \varGamma U \varGamma.$ In this paper, this index theory will be extended to encompass non-unitary $U$. The existing literature for unitary $U$ makes use of the indispensable assumption that $U$ is essentially gapped; that is, we require that the essential spectrum of $U$ contains neither $-1$ nor $+1$ to define the associated index. It turns out that this assumption is no longer necessary, if the given time-evolution $U$ is non-unitary. As a concrete example, we shall consider a well-known non-unitary quantum walk model on the one-dimensional integer lattice, introduced by Mochizuki-Kim-Obuse.

연구 동기 및 목표

• 유니터리이고 본질적으로 갭이 있는 양자 산책을 넘어서 비유니터리이고 갭이 없는 시스템으로 위튼 지수 이론을 일반화하는 것.
• ℓ²(ℤ, ℂ²)에서 점 渐진적으로 일정한 매개변수를 갖는 비유니터리 시간 진화 연산자 𝑈mko를 구성하는 것.
• 𝑈가 본질적으로 유니터리이거나 본질적으로 갭이 없는 경우에도, 치랄 쌍 (Γ, 𝑈)에 대해 위튼 지수를 정의하고 계산하는 것.
• 𝑈mko의 본질 스펙트럼 𝜎ess(𝑈mko)와 관련 지수 ind(Γmko, 𝑈mko)를 점 渐진 매개변수에 따라 분류하는 것.
• 시스템이 본질적으로 갭이 없을 때도 위튼 지수가 0이 아닐 수 있음을 보여주며, 기존 지수 이론의 가정에 도전하는 것.

제안 방법

• 이동, 증폭, 위상, 회전 연산자를 사용하여 ℓ²(ℤ, ℂ²)에서 비유니터리 시간 진화 연산자 𝑈mko = 𝑆𝐺Φ𝐶2𝑆𝐺⁻¹Φ𝐶1를 정의한다.
• 치랄 대칭 𝑈* = Γ𝑈Γ를 확보하기 위해 Z2-중요 연산자 Γmko = (σ₂𝐶₁𝑆σ₂)Γ₂(σ₂𝐶₁𝑆σ₂)* 를 도입한다.
• 스펙트럼 이론과 와일의 기준을 적용하여 본질 스펙트럼 𝜎ess(𝑈mko)를 분석하고, 이가 𝕋 ∪ ℝ 에 속함을 보인다.
• 𝜃₁(±∞), 𝜃₂(±∞), 및 𝛾(±∞)의 점 渐진 값에 따라 𝜎ess(𝑈mko)를 여섯 가지 경우로 분류하며, 임계 임계값 𝛾±(★) 를 고려한다.
• 일반화된 봉우리-경계 상호작용 형태를 적용하여 위튼 지수를 위상적 불변량과 연결한다.
• 예제 7을 통한 명시적 구성으로, 𝑈가 본질적으로 갭이 없을 때도 위튼 지수가 잘 정의되고 0이 아닐 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유니터리 양자 산책이 본질적으로 갭이 없을 경우에도 위튼 지수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 비유니터리 양자 산책의 본질 스펙트럼은 점 渐진 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 비유니터리이고 갭이 없는 시스템에서 위튼 지수와 위상적 보호 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 치랄 대칭과 지수 이론은 유니터리이고 갭이 있는 설정을 넘어서 일반화될 수 있는가?
• RQ5 스펙트럼 갭이 없는 상태에서 비유니터리이고 비컴act한 외란에 대해 위튼 지수는 안정적인가?

주요 결과

• 𝑈mko가 본질적으로 갭이 없을 경우, 즉 ±1 ∈ 𝜎ess(𝑈mko)일 경우에도 위튼 지수 ind(Γmko, 𝑈mko)는 잘 정의되고 0이 아닐 수 있다.
• 본질 스펙트럼 𝜎ess(𝑈mko)는 단위 원판 𝕋과 실수선 ℝ의 부분집합이며, 𝜃₁(±∞), 𝜃₂(±∞), 및 𝛾(±∞)의 점 渐진 값에 의해 완전히 결정된다.
• 𝜎ess(𝑈mko)는 −sin𝜃₁(★)sin𝜃₂(★)의 부호와 |𝛾(★)|가 임계 임계값 𝛾±(★) 대비 크기의 기준에 따라 여섯 가지 다른 경우로 분리되며, 특히 ±1 을 포함하는 케이스 II 가 중요하다.
• 모델 𝑈mko는 임의의 0이 아닌 정수 𝑚에 대해 𝑚-단계 치랄 양자 산책 (Γₘ, 𝑈ₘ) 으로 일반화되며, 다양한 1차원 유니터리 양자 산책 모델을 통합한다.
• 본질적 갭 조건이 없는 상황에서도 위튼 지수가 위상 불변량임을 보여주며, 이는 이전 지수 이론에서 필수 갭 조건이 반드시 필요하다는 가정을 도전한다.
• 예제 7은 𝑈mko가 본질적으로 갭이 없지만 ind(Γmko, 𝑈mko) ≠ 0 인 경우를 명시적으로 구성함으로써, 지수가 갭이 없는 비유니터리 시스템의 위상적 질서를 탐지할 수 있음을 증명한다.