[논문 리뷰] The Yellowstone Permutation

David Applegate, Hans Havermann외 4명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 07.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 번째 이전 항과 공약수를 가지며 바로 이전 항과는 서로소인 최소의 사용되지 않은 양의 정수를 선택하여 정의되는 양의 정수열인 Yellowstone Permutation을 제시한다. 이 순서가 자연수의 전치열임을 증명하며, 교대로 나타나는 짝수-홀수 조각과 소수에서의 자주 나타나는 피크를 가진 고요스러운 그래프 패턴을 보이며, 이는 무한히 많은 기저 곡선이 존재할 가능성을 시사한다. 주요 기여는 이 순서의 보편성에 대한 엄밀한 증명과 그 구조적 분석이다.

ABSTRACT

Define a sequence of positive integers by the rule that a(n) = n for 1 <= n <= 3, and for n >= 4, a(n) is the smallest number not already in the sequence which has a common factor with a(n-2) and is relatively prime to a(n-1). We show that this is a permutation of the positive integers. The remarkable graph of this sequence consists of runs of alternating even and odd numbers, interrupted by small downward spikes followed by large upward spikes, suggesting the eruption of geysers in Yellowstone National Park. On a larger scale the points appear to lie on infinitely many distinct curves. There are several unanswered questions concerning the locations of these spikes and the equations for these curves.

연구 동기 및 목표

• 재귀적 상호소수성 및 공약수 제약 조건을 가진 새로운 정수열을 정의하고 분석한다.
• 모든 양의 정수가 정확히 한 번씩 순서에 나타남을 증명하여 자연수 집합 N의 전치열임을 확립한다.
• Yellowstone 국립공원의 고요스러운 분출 현상과 유사한 시각적으로 인상적인 순서의 그래프를 설명한다.
• 소수, 합성수, 그리고 그래프에 존재하는 무한 곡선의 존재와 같은 순서의 구조적 성질을 조사한다.
• 순열의 역동적 행동, 특히 궤도, 순환 및 고정점 등을 탐구한다.

제안 방법

• 순서를 재귀적으로 정의한다: a(n)은 a(n-2)와 공약수를 가지며 a(n-1)와 서로소인 사용되지 않은 최소의 양의 정수이며, 초기값은 a(1)=1, a(2)=2, a(3)=3이다.
• 모순에 의한 증명을 통해 모든 소수가 순서에 포함되어야 함을 보이며, 이는 이전 항들을 나누지 않는 충분히 큰 소수가 존재한다는 사실에 기반한다.
• 더 높은 소수의 거듭제곱이 더 작은 대체값으로 존재함을 이용하여 모든 소수가 유한한 수의 항을 나누지 않음을 증명한다.
• 최소로 누락된 수가 존재한다고 가정하고, 상호소수 조건과 소수의 무한성에 기반해 모순을 도출함으로써 모든 양의 정수가 나타남을 증명한다.
• 수치적 계산과 시각화를 통해 그래프의 구조를 분석하며, 소수, 짝수, 홀수 합성수 및 흐물흐물한 높은 밀도의 점들에 해당하는 곡선을 식별한다.
• 순열에 의해 유도된 동역학계를 연구하며, 유한 순환과 추측되는 무한 궤도를 수치적 증거와 궤도 분석을 통해 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 양의 정수가 Yellowstone Permutation에 포함되어 자연수의 완전한 전치열을 이루는가?
• RQ2 왜 이 순서의 그래프는 소수에서 고요스러운 피크를 보이며, 짝수-홀수 조각이 번갈아 나타나는가?
• RQ3 순서의 항들이 존재하는 서로 다른 곡선이 무한히 많은가? 그 정의 방정식은 무엇인가?
• RQ4 이 순서의 궤도는 어떤 구조를 가지며, 대부분의 정수는 무한 궤도에 속해 있는가?
• RQ5 그래프에서 관찰되는 기울기와 곡선 패턴은 순서의 수론적 성질로 설명될 수 있는가?

주요 결과

• 상호소수 조건과 소수의 무한성에 기반해 모든 수가 결국 나타나야 하므로, 순서가 양의 정수의 전치열임을 증명하였다.
• 그래프는 소수 항에서 아래로 향하는 피크와 두 번째 단계 후에 위로 향하는 피크(고요스러운 분출)를 보이며, 소수, 짝수, 홀수 합성수에 해당하는 고유한 곡선 위 또는 그 근처에 항들이 놓여져 있다.
• 홀수 합성수는 그래프에서 가장 높은 밀도를 보이는 곡선('C')을 형성하며, 소수들은 가장 낮은 곡선('p')에 위치하고, 짝수들은 두 번째 곡선('E')에 있다.
• 순서의 구조는 항들이 존재하는 서로 다른 곡선이 무한히 많다는 것을 시사하지만, 이는 아직 추측에 머물러 있다.
• 고정점 7개 외에 27개의 알려진 유한 순환 존재하며, 가장 큰 순환의 최소 항은 45순환에서 756023506이다.
• 수치적 증거는 거의 모든 양의 정수가 순열 하에서 무한 궤도에 속해 있다는 추측을 지지하지만, 정방향 및 역방향 궤도의 수렴 가능성은 매우 낮다.