[논문 리뷰] Theories without the tree property of the second kind

Artem Chernikov|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2012. 04. 03.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제2종 나무성질을 갖지 않는 이론들(NTP₂)의 기본 성질을 확립하며, 복잡도 측도인 burden이 하위 곱성을 가지며, NTP₂는 일반화된 김의 보조정리와 유한한 ist-무게와 동치임을 증명하고, 어떤 1-type의 dp-랭크는 매개변수 추가 후 상호 indiscernible인 단일 원소의 열에 의해 항상 증명됨을 보인다. 또한 NTP₂ 이론에서 단순한 유형들은 공단순하며, 분할(forking)은 완전한 대칭성을 만족함을 보이며, 특성 (0,0)인 헨젤리언 체계를 가진 체는 그 잔여체와 값군이 모두 NTP₂이면 NTP₂임을 보인다.

ABSTRACT

We initiate a systematic study of the class of theories without the tree property of the second kind - NTP2. Most importantly, we show: the burden is "sub-multiplicative" in arbitrary theories (in particular, if a theory has TP2 then there is a formula with a single variable witnessing this); NTP2 is equivalent to the generalized Kim's lemma and to the boundedness of ist-weight; the dp-rank of a type in an arbitrary theory is witnessed by mutually indiscernible sequences of realizations of the type, after adding some parameters - so the dp-rank of a 1-type in any theory is always witnessed by sequences of singletons; in NTP2 theories, simple types are co-simple, characterized by the co-independence theorem, and forking between the realizations of a simple type and arbitrary elements satisfies full symmetry; a Henselian valued field of characteristic (0,0) is NTP2 (strong, of finite burden) if and only if the residue field is NTP2 (the residue field and the value group are strong, of finite burden respectively), so in particular any ultraproduct of p-adics is NTP2; adding a generic predicate to a geometric NTP2 theory preserves NTP2.

연구 동기 및 목표

• 제2종 나무성질을 갖지 않는 이론의 클래스인 NTP₂ 이론에 대한 체계적 연구를 시작하기 위해.
• 임의의 이론에서 복잡도의 척도로서 burden의 역할을 명확히 하여, 그것이 하위 곱성을 가짐을 보여주기 위해.
• 안정성과 단순성의 개념을 통합하기 위해, 일반화된 김의 보조정리와 유한한 ist-무게를 통해 NTP₂ 이론를 특성화하기 위해.
• 임의의 이론에서 1-type의 dp-랭크가 매개변수를 추가한 후 상호 indiscernible인 실현의 열에 의해 항상 증명됨을 확립하기 위해.
• NTP₂ 이론에서 단순한 유형들이 공단순이며, 단순한 유형의 실현과 임의의 원소 사이의 분할 관계가 완전한 대칭성을 만족함을 증명하고, 헨젤리언 체계를 가진 체와 p-진수의 초수체의 모형이론적 성질을 분석하기 위해.

제안 방법

• 부분 유형에 대한 국소화를 사용하여 inp-패턴과 burden을 카디널 불변량으로서 도입하고 분석한다.
• 공식의 배열에 대한 귀납적 구성 기법을 적용하여, 깊이 κ인 inp-패턴이 존재하면 변수 의존도가 더 적은 패턴이 존재함을 보인다.
• 헨젤리언 체계를 가진 체에서 Denef-Pas 언어의 세포 분해를 사용하여 공식을 값군과 잔여체 공식의 조합으로 줄인다.
• 값군과 잔여체 사이의 안정적 통합성과 수직성 관계를 이용하여 inp-패턴을 유계로 제한한다.
• 정직한 정의와 [CS13]의 결과를 활용하여 dp-랭크의 증명 가능성을 임의의 이론으로 확장한다.
• Keisler 순서와 포화성 추론을 적용하여 p-진수 체의 초수체와 그 모형이론적 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이론의 burden은 하위 곱성을 가지는가? 이는 TP₂가 단일 변수를 갖는 공식에 의해 증명됨을 의미하는가?
• RQ2 임의의 이론에서 1-type의 dp-랭크는 매개변수를 추가한 후 상호 indiscernible인 실현의 열에 의해 항상 증명되는가?
• RQ3 NTP₂ 이론에서 단순한 유형의 실현과 임의의 원소 사이의 분할 관계는 완전히 대칭적인가?
• RQ4 특성 (0,0)인 헨젤리언 체계를 가진 체는 그 잔여체와 값군이 모두 NTP₂이면 NTP₂인가?
• RQ5 p-진수 체의 초수체에서 순수한 체 언어에서는 burden이 1인가? Denef-Pas 언어에서는 최소 2이지만 말이다.

주요 결과

• 이론의 burden은 하위 곱성을 가진다: 만약 bdn(a/C) < κ 이고 bdn(b/aC) < λ 이면, bdn(ab/C) < κ × λ 이다.
• 이론이 TP₂를 갖는다면, x가 단일 원소인 공식 φ(x,y)가 TP₂를 증명한다.
• NTP₂ 이론에서, 매개변수를 추가한 후 1-type의 dp-랭크는 항상 상호 indiscernible인 단일 원소의 열에 의해 증명된다.
• NTP₂ 이론에서 단순한 유형들은 공단순이며, 단순한 유형의 실현과 임의의 원소 사이의 분할 관계는 완전한 대칭성을 만족한다.
• 특성 (0,0)인 헨젤리언 체계를 가진 체는 잔여체가 NTP₂이면서 값군이 유한한 복잡도를 갖는 강한 값군이면 NTP₂(유한한 복잡도)이다.
• p-진수 체의 초수체는 순수한 체 언어에서는 NTP₂이며, Denef-Pas 언어에서는 최소 2의 복잡도를 가지지만, burden이 1일 것으로 추측된다.