[논문 리뷰] Theory of interleavings on categories with a flow

Vin de Silva, Elizabeth Munch외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 13.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 상위 데이터 분석의 교차 거리 개념을 [0, ∞)의 완화 모노이드 작용을 갖는 임의의 범주로 일반화한다. 이러한 범주들은 자연스럽게 Lawvere 거리 공간을 이룬다. 주요 기여는 코라크 [0, ∞)-등변 함수자들에 의해 1-립시츠 맵이 유도됨을 보여주는 함자적 프레임워크를 제공하는 것으로, TDA 및 그 외 분야의 안정성 결과들을 통합하고 단순화한다. 이는 영속 모듈, 리브 그래프, 그리고 하우스도르프 거리와 L∞-노름과 같은 일반적인 거리 척도를 포함한다.

ABSTRACT

The interleaving distance was originally defined in the field of Topological Data Analysis (TDA) by Chazal et al. as a metric on the class of persistence modules parametrized over the real line. Bubenik et al. subsequently extended the definition to categories of functors on a poset, the objects in these categories being regarded as `generalized persistence modules'. These metrics typically depend on the choice of a lax semigroup of endomorphisms of the poset. The purpose of the present paper is to develop a more general framework for the notion of interleaving distance using the theory of `actegories'. Specifically, we extend the notion of interleaving distance to arbitrary categories equipped with a flow, i.e. a lax monoidal action by the monoid $[0,\infty)$. In this way, the class of objects in such a category acquires the structure of a Lawvere metric space. Functors that are colax $[0,\infty)$-equivariant yield maps that are $1$-Lipschitz. This leads to concise proofs of various known stability results from TDA, by considering appropriate colax $[0,\infty)$-equivariant functors. Along the way, we show that several common metrics, including the Hausdorff distance and the $L^{\infty}$-norm, can be realized as interleaving distances in this general perspective.

연구 동기 및 목표

• 실수에 의존하는 영속 모듈 외의 임의의 흐름을 지닌 범주로 교차 거리를 확장하기.
• actegory와 완화 모노이드 작용을 이용한, 교차를 정의하는 통합적인 범주론적 프레임워크 제공.
• 이러한 범주들이 자연스럽게 Lawvere 거리 공간의 구조를 지닌다는 것을 보여주기.
• 코라크 [0, ∞)-등변 함수자들이 1-립시츠 맵을 유도함을 증명하여 안정성 정리의 일반화를 이루기.
• 하우스도르프 거리와 L∞-노름과 같은 고전적 척도들이 이 일반화된 프레임워크 내에서 교차 거리로 복원될 수 있는지 보여주기.

제안 방법

• [0, ∞)의 완화 모노이드 작용을 통한 흐름을 지닌 범주를 수리적으로 기술하기 위해 actegory 이론을 사용한다.
• 이동 함수자 Tε를 포함하는 자연 변환을 통해 ε-교차를 정의하여 원래 TDA 정의를 일반화한다.
• ε-교차가 존재하는 최소 ε의 하한으로서 교차 거리 d(C,T)를 구성한다.
• 코라크 [0, ∞)-등변 함수자들이 교차 거리 공간 간의 1-립시츠 맵을 유도한다는 것을 특성화한다.
• 흐름을 지닌 범주들을 B[0, ∞)에서 CAT로의 완화 2-함수자로 재해석하여 고차 범주론적 시각을 가능하게 한다.
• [0, ∞)-ACT에서 [0, ∞]-CAT로의 함자 I를 구축한다. 이는 (C, T)를 (C, d(C,T))로 매핑하고, 함수자를 1-립시츠 맵으로 매핑한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 매개변수 영속 모듈 외의 임의의 흐름을 지닌 범주로 교차 거리를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 actegory 이론과 완화 모노이드 작용을 통해 교차의 개념을 어떻게 수리적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 교차 거리의 범주론적 구조는 무엇이며, Lawvere 거리 공간과 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 코라크 [0, ∞)-등변 함수자들이 항상 교차 거리에 대해 1-립시츠 맵을 유도하는가?
• RQ5 하우스도르프 거리와 L∞-노름과 같은 고전적 척도들이 이 일반화된 프레임워크 내에서 교차 거리로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 흐름을 지닌 범주 (C, T)에서의 교차 거리는 (C, d(C,T))로 나타내는 Lawvere 거리 공간을 이룬다.
• 코라크 [0, ∞)-등변 함수자 H: (C, T) → (D, S)는 교차 거리 공간 간의 1-립시츠 맵 H: (C, d(C,T)) → (D, d(D,S))를 유도한다.
• 교차 구성 I는 함자적이다: 코라크 [0, ∞)-등변 함수자를 1-립시츠 맵으로 매핑하며, 합성과 항등성을 유지한다.
• 하우스도르프 거리와 L∞-노름은 이 일반화된 프레임워크 내에서 교차 거리로 실현될 수 있다.
• 영속 모듈과 다이어그램에 대한 안정성 정리는 이 일반 프레임워크의 특수한 경우로 도출된다.
• 이 프레임워크는 리브 그래프로 일반화 가능하며, 더 단순한 대상들을 통해 그 교차 거리에 대한 상한을 제공한다.