[논문 리뷰] Thick morphisms, higher Koszul brackets, and $L_{\infty}$-algebroids

H. M. Khudaverdian, Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 파울슨 기하학의 고전적 파울슨 기하학에 대한 호모토피 버전을 수립한다. 이를 위해 고차 Koszul 괄호의 무한한 수열을 호모토피 파울슨 구조에 대해 미분형식 위에 도입하고, 초다양체의 두꺼운 사상에 의해 구성된 $L_{\infty}$-사상으로 이를 실현한다. 주요 결과는 이러한 고차 괄호가 BV 유형의 연산자에 대한 고전적 극한임을 보이며, 그들의 마스터 해밀토니언은 정확히 그 연산자의 주요 기호와 일치함으로써 고전적 Koszul–Schouten 대응관계를 $L_{\infty}$-설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

It is a classical fact in Poisson geometry that the cotangent bundle of a Poisson manifold has the structure of a Lie algebroid. Manifestations of this structure are the Lichnerowicz differential on multivector fields (calculating Poisson cohomology) and the Koszul bracket of differential forms. "Raising indices" by the Poisson tensor maps the de Rham differential to the Lichnerowicz differential and the Koszul bracket to the Schouten bracket. In this paper, we present a homotopy analog of the above results. When an ordinary Poisson structure is replaced by a homotopy one, instead of a single Koszul bracket there arises an infinite sequence of "higher Koszul brackets" defining an $L_{\infty}$-algebra structure on forms (Khudaverdian--Voronov arXiv:0808.3406). We show how to construct a non-linear transformation, which is an $L_{\infty}$-morphism, from this $L_{\infty}$-algebra to the Lie superalgebra of multivector fields with the canonical Schouten bracket. This is done by using the new notion of "thick morphisms" of supermanifolds recently introduced (see arXiv:1409.6475 and arXiv:1411.6720).

연구 동기 및 목표

• 디 리함의 미분과 리히너로비치의 미분 사이의 고전적 Koszul–Schouten 대응관계를 호모토피 파울슨 구조의 설정으로 일반화하기 위해.
• 고차 Koszul 괄호를 갖춘 미분형식의 $L_{\infty}$-대수에서 다중벡터장의 리 초스칼라 대수로의 $L_{\infty}$-사상을 구축하기 위해.
• 이 사상을 초다양체의 두꺼운 사상의 새로운 프레임워크를 사용하여 실현함으로써, 고전적 '지표를 높이는' 사상 $P^\sharp$를 비선형적이고 호모토피-일致적인 설정으로 확장하기 위해.
• 고차 Koszul 괄호가 BV 유형의 연산자 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 로부터 유도될 수 있음을 보이며, $\Delta$ 의 주요 기호가 고차 괄호의 마스터 해밀토니언을 정확히 제공함을 보여주기 위해.
• 두꺼운 사상의 생성 함수를 이중화된 앵커 사상으로 해석함으로써 $L_{\infty}$-아르바이드를 위한 기하학적이고 대수학적인 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 이 논문은 이전 연구에서 도입된 초다양체의 두꺼운 사상 개념을 사용하여 $\Pi T^*M$ 과 $\Pi TM$ 위의 함수 대수 사이의 비선형 사상을 정의하며, 고전적 선형 사상 $P^\sharp$ 를 일반화한다.
• 두꺼운 사상에 대한 생성 함수 $S(x,x^*;p,\pi) = x^a p_a + \frac{\partial P}{\partial x^*_a}(x,x^*) \pi_a$ 를 구성하며, 그 쌍대 $S^*$ 는 함수의 당김을 정의하는 데 사용된다.
• 고차 Koszul 괄호는 반복된 교환자 $[\cdots[\Delta, \omega_1], \cdots, \omega_k](1)$ 의 고전적 극한 $\hbar \to 0$ 으로 실현되며, 여기서 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 이고 $\hat{P} = P(x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial dx})$ 이다.
• 연산자 $\Delta$ 의 주요 기호는 공식 $H = \lim_{\hbar \to 0} e^{-\frac{i}{\hbar}(xp + dx\pi)} \Delta(e^{\frac{i}{\hbar}(xp + dx\pi)})$ 를 통해 계산되며, 마스터 해밀토니언 $dx^a \frac{\partial P}{\partial x^a}(x,\pi) + (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial \pi_a} p_a$ 를 얻는다.
• 이 해밀토니언이 이전 연구에서 정의된 고차 Koszul 괄호의 마스터 해밀토니언과 정확히 일치함을 보이며, 구성의 일관성을 확인한다.
• 이를 통해 $L_{\infty}$-아르바이드의 앵커 사상은 생성 함수 $S$ 에서 유도되며, $a_P: \Pi T^*M \to \Pi TM$ 는 $x^a \mapsto x^a$, $dx^a = (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial x^*_a}$ 로 주어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디 리함의 미분과 리히너로비치의 미분 사이의 고전적 Koszul–Schouten 대응관계를 호모토피 파울슨 구조로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 두꺼운 사상은 고차 Koszul 괄호를 갖춘 형식의 $L_{\infty}$-대수와 다중벡터장의 리 초스칼라 대수 사이의 $L_{\infty}$-사상 실현에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 BV 유형의 연산자 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 가 고전적 극한 $\hbar \to 0$ 을 통해 고차 Koszul 괄호의 전체 수열을 생성할 수 있는가?
• RQ4 $\Delta$ 의 주요 기호는 고차 Koszul 괄호의 마스터 해밀토니언과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 두꺼운 사상의 생성 함수 $S$ 는 $L_{\infty}$-아르바이드의 앵커 사상 측면에서 기하학적으로 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 호모토피 파울슨 구조에 대해 미분형식 위에 정의된 고차 Koszul 괄호는 BV 유형의 연산자 $\Delta = [d, \hat{P}]$ 와 반복된 교환자의 고전적 극한으로 실현되며, 여기서 $\hat{P}$ 는 파울슨 텐서 $P$ 로부터 구성된 미분연산자이다.
• $\hbar \to 0$ 극한에서 $\Delta$ 의 주요 기호는 $dx^a \frac{\partial P}{\partial x^a}(x,\pi) + (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial \pi_a} p_a$ 이며, 이는 이전 연구에서 정의된 고차 Koszul 괄호의 마스터 해밀토니언과 정확히 일치한다.
• 고차 Koszul 괄호를 갖춘 형식의 $L_{\infty}$-대수에서 다중벡터장의 리 초스칼라 대수로의 $L_{\infty}$-사상은 생성 함수 $S(x,x^*;p,\pi) = x^a p_a + \frac{\partial P}{\partial x^*_a}(x,x^*) \pi_a$ 를 갖는 두꺼운 사상으로 실현되며, 고전적 $P^\sharp$ 사상의 일반화이다.
• $L_{\infty}$-아르바이드의 앵커 사상은 $a_P(x^a, x^*_a) = (x^a, (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial x^*_a})$ 로 주어지며, 이는 구조의 기하학적 기원을 보여준다.
• 이 구성은 고전적 Koszul–Schouten 대응관계를 $L_{\infty}$-설정으로 체계적으로 확장하는 방법을 제공하며, $\Pi T^*M$ 의 영 섹션 주변에서 $P$ 의 형식적 멱급수 전개에 의해 고차 괄호의 전체 계층이 암묵적으로 포함되어 있다.
• 이 프레임워크는 $\hbar$-변형 형식론과 호환되며, 고차 괄호는 형식적 미분연산자의 고전적 극한으로서 나타나며, 편미분 연산자 이론의 기호 맵과 유사하다.