[논문 리뷰] Tight Approximation Algorithms for p-Mean Welfare Under Subadditive Valuations

Siddharth Barman, Umang Bhaskar외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 15.

Game Theory and Voting Systems인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 불가분 물품에 대한 정당한 분배에서 하위가치 평가를 가진 경우, $p$-평균 복지의 다항시간 근사 알고리즘을 제시한다. 모든 $p \in (-\infty, 1]$에 대해 $\frac{1}{8n}$-근사 비율을 달성하며, 이는 이전의 하위모듈라 평가에 대한 $O(n\log n)$-근사 비율을 향상시킨다. 또한 XOS 평가 하에서 $O(n^{1-\varepsilon})$-근사 비율을 위해서는 지수적 수준의 질의가 필요하다는 점을 통해 이 근사 비율이 거의 최적임을 증명한다.

ABSTRACT

We develop polynomial-time algorithms for the fair and efficient allocation of indivisible goods among $n$ agents that have subadditive valuations over the goods. We first consider the Nash social welfare as our objective and design a polynomial-time algorithm that, in the value oracle model, finds an $8n$-approximation to the Nash optimal allocation. Subadditive valuations include XOS (fractionally subadditive) and submodular valuations as special cases. Our result, even for the special case of submodular valuations, improves upon the previously best known $O(n \\log n)$-approximation ratio of Garg et al. (2020). More generally, we study maximization of $p$-mean welfare. The $p$-mean welfare is parameterized by an exponent term $p \\in (-\\infty, 1]$ and encompasses a range of welfare functions, such as social welfare ($p = 1$), Nash social welfare ($p \ o 0$), and egalitarian welfare ($p \ o -\\infty$). We give an algorithm that, for subadditive valuations and any given $p \\in (-\\infty, 1]$, computes (in the value oracle model and in polynomial time) an allocation with $p$-mean welfare at least $\\frac{1}{8n}$ times the optimal. Further, we show that our approximation guarantees are essentially tight for XOS and, hence, subadditive valuations. We adapt a result of Dobzinski et al. (2010) to show that, under XOS valuations, an $O \\left(n^{1-\\varepsilon} \ ight)$ approximation for the $p$-mean welfare for any $p \\in (-\\infty,1]$ (including the Nash social welfare) requires exponentially many value queries; here, $\\varepsilon>0$ is any fixed constant.

연구 동기 및 목표

• 불가분 물품의 효율적이고 정당한 할당을 위한 다항시간 근사 알고리즘을 개발한다. 이는 하위가치 평가를 가진 에이전트들 사이에서 이루어진다.
• 하위모듈라 평가 하에서 나시 사회복지(즉, $p \to 0$)에 대해 가장 잘 알려진 $O(n\log n)$-근사 비율을 향상시키는 것.
• 모든 $p$-평균 복지 목표로의 근사 보장을 확장한다. 이는 사회복지($p=1$)와 균등 복지($p \to -\infty$)를 포함한다.
• XOS 평가 하에서 질의 복잡도의 거의 최적의 하한을 증명함으로써 근사 비율의 엄밀함을 확립한다.
• 하위가치 또는 가산 평가 하에서 $p \in (0,1)$에 대해 $(m-n+1)$-근사 비율을 $p \leq 0$로 확장하는 것이 NP-난이도임을 보여준다.

제안 방법

• 모든 $p \in (-\infty, 1]$와 하위가치 평가에 대해 최적값의 $\frac{1}{8n}$ 배 이상의 $p$-평균 복지 값을 갖는 할당을 계산하는 다항시간 알고리즘을 설계한다. 이는 값 오рак불 모델에서 작동한다.
• 이전의 하위모듈라 및 가산 평가 연구에서 유도된 기법을 적응하여, 하위가치 함수의 구조를 활용해 근사 비율을 제한한다.
• 값 질의를 반복적으로 사용하여 번들의 개선을 추구하는 라운딩 및 할당 전략을 적용하여 공정성과 효율성의 상호보완적 조건을 확보한다.
• 일반화된 평균 부등식을 사용하여 하한 구성에서 최적의 $p$-평균 복지 값을 제한한다.
• Dobzinski 등(2010)의 질의 복잡도 하한을 적응하여, XOS 평가 하에서 $O(n^{1-\varepsilon})$-근사 비율을 위해서는 지수적 수준의 값 질의가 필요하다는 것을 증명한다.
• 가산 평가 하에서 $p \in (0,1)$ 영역에서 $(m-n+1)$-근사 비율이 NP-난이도임을 증명하여, 이 근사 비율이 $p \leq 0$를 초월해 확장되지 않는다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위가치 평가 하에서 모든 $p \in (-\infty, 1]$에 대해 다항시간 알고리즘이 $p$-평균 복지의 상수 요소 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ2 하위가치 평가 하에서 $p$-평균 복지에 대해 $\frac{1}{8n}$-근사 비율이 엄밀한가, 아니면 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 XOS 평가 하에서 $p$-평균 복지의 부분선형 요소 이내 근사에 필요한 질의 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 나시 사회복지에 대해 $(m-n+1)$-근사 비율이 하위가치 또는 가산 평가 하에서 $p \in (0,1)$ 영역으로 확장되는가?
• RQ5 가산 평가 하에서도 $p \in (0,1)$일 때 $(m-n+1)$-근사 비율을 달성하는 것이 NP-난이도인가?

주요 결과

• 논문은 하위가치 평가 하에서 모든 $p \in (-\infty, 1]$에 대해 $\frac{1}{8n}$-근사 비율을 달성하며, 이는 이전의 하위모듈라 평가에 대한 $O(n\log n)$-근사 비율을 향상시킨다.
• XOS 평가 하에서 $O(n^{1-\varepsilon})$-근사 비율을 위해서는 지수적 수준의 값 질의가 필요하므로, $\frac{1}{8n}$-근사 비율은 거의 최적임이 입증된다.
• 결과는 XOS 및 하위모듈라 함수를 포함한 모든 하위가치 평가에 일반화되며, 하위모듈라 평가에 대한 기존의 난이도 결과와 일치한다.
• $p \leq 0$일 때 하위가치 평가 하에서 $(m-n+1)$-근사 비율이 달성 가능하지만, 이는 $p \in (0,1)$ 영역으로 확장되지 않는다.
• $p \in (0,1)$일 때 $p$-평균 복지에 대해 $(m-n+1)$-근사 비율을 계산하는 것은 가산 평가 하에서도 NP-난이도이며, 이는 이 근사 비율이 확장되지 않는다는 것을 보여준다.
• 하한은 복잡도 이론적 가정에 의존하지 않고도 무조건적으로 성립하므로, 질의 효율성에 대한 강력한 제약 조건을 설정한다.