[논문 리뷰] Tight competitive ratios of classic matching algorithms in the fully online model

Zhiyi Huang, Binghui Peng외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 06.

Optimization and Search Problems인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 모든 정점들이 온라인으로 도착하고 그래프가 일반적인 경우, 고전적인 매칭 알고리즘에 대해 날카운 경쟁 비율을 확립한다. 분수형 워터필링 알고리즘이 $1 - \frac{1}{e}$의 경쟁 비율을 달성하며, 이분 그래프에서 정수형 랭킹 알고리즘이 정확히 $\approx 0.567$-경쟁적이며, 이는 알려진 하한 경계와 일치하여 이 모델에 대한 오랫동안 남아 있던 경쟁 분석의 격차를 해결한다.

ABSTRACT

Huang et al. (STOC 2018) introduced the fully online matching problem, a generalization of the classic online bipartite matching problem in that it allows all vertices to arrive online and considers general graphs. They showed that the ranking algorithm by Karp et al. (STOC 1990) is strictly better than 0.5-competitive and the problem is strictly harder than the online bipartite matching problem in that no algorithms can be (1 --- 1/e)-competitive.This paper pins down two tight competitive ratios of classic algorithms for the fully online matching problem. For the fractional version of the problem, we show that a natural instantiation of the water-filling algorithm is [MATH HERE]-competitive, together with a matching hardness result. Interestingly, our hardness result applies to arbitrary algorithms in the edge-arrival models of the online matching problem, improving the state-of-art [MATH HERE] upper bound. For integral algorithms, we show a tight competitive ratio of ≈ 0.567 for the ranking algorithm on bipartite graphs, matching a hardness result by Huang et al. (STOC 2018).

연구 동기 및 목표

• 완전 온라인 매칭 문제에서 고전적 알고리즘의 경쟁 비율에 대한 알려진 상한과 하한 사이의 격차를 메우기.
• 분수형 워터필링 알고리즘의 성능을 분석하고 그 날카운 경쟁 비율을 확립하기.
• 완전 온라인 모델에서 이분 그래프에서 랭킹 알고리즘의 날카운 경쟁 비율 약 0.567을 증명하기.
• 하한 결과를 일반적인 간선 도착 모델로 확장하여 이전의 상한을 향상시키기.

제안 방법

• 완전 온라인 설정에서 분수형 워터필링 알고리즘에 대한 새로운 분석을 통해 원시-이중 프레임워크를 통해 그 경쟁성을 확립한다.
• 분수형 케이스에 대한 매칭 가능한 하한 결과 유도: 어떤 알고리즘도 경쟁 비율에서 $1 - \frac{1}{e}$를 초과할 수 없다는 것을 보여준다.
• 랭킹 알고리즘을 완전 온라인 모델에 적응시키고, 이분 그래프에서의 $\approx 0.567$-경쟁성에 대한 증명을 수행한다.
• 모든 알고리즘에 적용 가능한 하한 인스턴스를 구성하여, 이전의 상한을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 온라인 매칭 문제에서 분수형 워터필링 알고리즘의 정확한 경쟁 비율은 무엇인가?
• RQ2 랭킹 알고리즘이 완전 온라인 모델에서 이분 그래프에서 0.5를 초과하는 경쟁 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ3 랭킹 알고리즘의 경쟁 비율은 날카로운가, 그리고 알려진 하한 경계와 일치하는가?
• RQ4 랭킹 알고리즘에 대한 하한 결과를 간선 도착 모델의 모든 알고리즘으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 분수형 워터필링 알고리즘이 $1 - \frac{1}{e}$의 경쟁 비율을 달성하며, 이 경계는 날카롭다.
• 매칭 가능한 하한 결과에 따르면, 분수형 설정에서는 어떤 알고리즘도 $1 - \frac{1}{e}$를 초과할 수 없으며, 이는 간선 도착 모델에서도 마찬가지다.
• 정수형 랭킹 알고리즘이 완전 온라인 모델에서 이분 그래프에서 약 0.567의 경쟁 비율을 달성한다.
• 이 경쟁 비율은 황 등이 (STOC 2018) 제시한 알려진 하한 결과와 일치하며, 이것이 날카로운 것을 증명한다.
• 분수형 케이스에 대한 하한 결과는 간선 도착 모델의 모든 알고리즘에 적용 가능하며, 현재까지의 최상위 상한을 향상시킨다.
• 본 연구는 완전 온라인 매칭 프레임워크에서 고전적 알고리즘의 최적성에 관해 오랫동안 남아 있던 열린 질문을 해결한다.