[논문 리뷰] Time consistent convex Feller processes and non linear second order partial differential equations

Jocelyne Bion–Nadal|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 시간에 일관된 볼록 동적 위험 측도와 둘레가 허용되는 경우조차도 2차 비선형 포물형 편미분방정식의 점성해를 연결한다. 마팅게일 문제 접근법과 페널티 함수를 통한 시간 일관성에 기반하여, 볼록 생성자를 갖는 HJB 유형의 방정식에 대해 점성해를 유도하는 페勒러 과정을 구축한다. 금융 분야에서의 응용은 확률적 변동성과 비아로비지 가격 정책에 해당한다.

ABSTRACT

This paper shows how the theory of dynamic risk measures provides viscosity solutions to a family of second-order parabolic partial differential equations, even in the degenerate case. First, motivated by the martingale problem approach of Stroock and Varadhan, we make use of the time consistency characterization for dynamic risk measures, to construct time consistent convex Markov processes. This is done in a general setting in which compacity arguments cannot be used, and for which there does not always exist an optimal control. Second, we prove that these processes lead to viscosity solutions for semi linear second-order partial differential equations with convex generator. Finally we give an application to mathematical finance. We show that our results allow for the construction of a No Arbitrage Pricing Procedure in the context of stochastic volatility. Within this approach, convexity takes into account liquidy risk.

연구 동기 및 목표

• 콤���성 또는 최적 제어 존재성의 가정 없이 일반적인 설정에서 시간에 일관된 볼록 마코프 과정을 구축하기 위해.
• 그러한 과정이 볼록 생성자를 갖는 반선형 2차 편미분방정식에 대해 점성해를 유도함을 증명하기 위해.
• 고전적 해가 실패하는 비퇴화 케이스를 포함하여, 비퇴화 확산에서의 이론을 초과하여 확장하기 위해.
• 특히 확률적 변동성과 유동성 리스크 하에서 비아로비지 가격 정책에 적용하기 위해 금융 수학에 이 프레임워크를 적용하기 위해.
• 위험 측도의 볼록성이 실제로 유동성 리스크를 반영하며, 관측된 오더북 데이터와 일치함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 스트룩과 바라다한의 마팅게일 문제 접근법을 사용하여 주어진 초기 조건에서 시작하는 연속 경로 위에 확률측도를 정의한다.
• 다중값 함수 프로그레시브 가측 과정 $\mu(s,\omega) \in \Lambda(s, X_s(\omega))$를 통해 등가 확률측도의 안정한 집합을 구성한다.
• 코 cycles 조건을 만족하는 국소 페널티 함수 $\alpha_{s,t}(P^\mu_{r,y}) = \mathbb{E}_{P^\mu_{r,y}}\left[\int_s^t g(u,X_u,\mu(u,\omega))du \middle| \mathcal{F}^r_s\right]$를 정의한다.
• 시간에 일관된 볼록 동적 절차를 $\Pi^{r,y}_{s,t}(Y) = \operatorname{esssup}_{P^\mu_{r,y} \in \widetilde{\mathcal{Q}}_{r,y}^S(\Lambda)} \left( \mathbb{E}_{P^\mu_{r,y}}(Y|\mathcal{F}^r_s) - \alpha_{s,t}(P^\mu_{r,y}) \right)$로 정의한다.
• 볼록 $f$를 갖는 허브라드-벨만 방정식 $\partial_u v + \mathcal{L}v + f(t,x,\sigma^* Dv) = 0$의 점성해를 구축하기 위해 이 이론을 적용한다.
• 절차가 정규화되어 있으며 시간 일관성, 볼록성, 아래에서의 연속성을 만족함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트성 또는 최적 제어 존재성의 가정 없이 시간에 일관된 볼록 동적 위험 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ2 그러한 측도가 퇴화 케이스에서 2차 비선형 편미분방정식에 대해 점성해를 유도하는가?
• RQ3 위험 측도의 볼록성은 금융 시장에서의 유동성 리스크를 어떻게 반영하는가?
• RQ4 이 프레임워크는 확률적 변동성 하에서 비아로비지 가격 정책을 지원할 수 있는가?
• RQ5 페널티 함수가 코 cycles 조건과 국소 성질을 만족시키기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 안정한 확률측도 집합과 코 cycles 조건을 만족하는 국소 페널티 함수를 통해 시간에 일관된 볼록 마코프 과정을 구성한다.
• 동적 절차 $\Pi^{r,y}_{s,t}$가 퇴화 케이스조차도 볼록 생성자를 갖는 반선형 2차 편미분방정식에 대해 점성해를 유도함을 증명한다.
• 해의 프레임워크는 균일 타원성 조건이 필요 없이 허브라드-벨만 방정식에 적용 가능하다.
• 함수 $h$가 허더 연속일 경우, 구성은 편미분방정식의 점성 상위해와 하위해를 모두 유도한다.
• 이 방법은 관측된 오더북 데이터와 일치하는 일관된 매수/매도 가격을 옵션에 적용할 수 있다.
• 페널티 기반 구성은 일반적이다: 브라운 운동 필터레이션 상에서 정규화된 시간에 일관된 동적 위험 측도는 이러한 절차의 극한으로 항상 나타난다.