[논문 리뷰] Time Evolution and Thermodynamics for the Nonequilibrium System in Phase-Space

Chen-Huan Wu|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 01.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 위상공간에서 비평형 양자 시스템의 시간 진동 및 열역학을 연구하며, 일반화된 지브스 군집(GGE)과 행렬 방법을 사용하여 통합 가능하고 비통합 가능한 시스템에 초점을 맞춘다. 장기 평균 관측값이 대각행렬 예측으로 수렴함을 보이며, 통합 가능한 시스템에서는 열역학적 평형이 억제되고, 확률적·잡음 있는 동역학에서는 무한온도 준정상 상태로 특징지어지는 점진적 비열역학적 평형 상태가 나타남을 규명한다.

ABSTRACT

The integrable system is constrained strictly by the conservation law during the time evolution, and the nearly integrable system or nonintegrable system is also constrained by the conserved parameters (like the constants of motion) with corresponding generalized Gibbs ensemble (GGE) which is indubitability a powerful tool in the prediction of thr relaxation dynamics. For stochastic evolution dynamic with considerable noise, the obviously quantum or thermal correlations which don't exhibit the thermal behavior, (like the density of kinks or transverse magnetization correlators), display a asymptotic nonthermalization, and in fact it's a asymptotic quasisteady state with a infinte temperature, therefore the required distance to the nonthermal steady state is in a infinite time average. In this paper, we unambiguously investigate the relaxation of a nonequilibrium system in a canonical ensemble for integrable system or nonintegrable system, and the temporal behavior of many-body quantum system and the macroscopic system, as well as the corresponding linear-coupling between harmonic oscillators. Matrix-method in entropy ensemble is also utilized to discuss the boundary and the important diagonalization, the approximation by the perturbation theory is also obtained.

연구 동기 및 목표

• 비평형 다체 양자 시스템의 통합 가능 및 비통합 가능 영역에서의 안정화 역학을 이해하기 위해.
• 장기적 행동을 결정짓는 보존량과 일반화된 지브스 군집(GGE)의 역할을 조사하기 위해.
• 잡음이나 통합성 파괴가 존재할 경우 시스템이 열역학적 평형에 도달하지 못하는 조건을 분석하기 위해.
• 시간 진동에서 대각화 및 편미분 근사에 대해 연구하기 위한 엔트로피 군집 내 행렬 방법 프레임워크를 개발하기 위해.
• 특히 무한온도 준정상 상태를 갖는 시스템에서 열역학적 평형과 점차적 비열역학적 평형 간의 차이를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 보존량에 의해 제약을 받는 통합 가능한 시스템에서 평형 유사 행동을 기술하기 위해 일반화된 지브스 군집(GGE)을 사용한다.
• 시간에 따른 관측값을 계산하기 위해 $ O(g^3) $까지의 섭동 이론을 적용하며, 대각 및 비대각 기여를 분리한다.
• 시간 진동 연산자를 대각화하고 $ s $-의존 항을 분리하기 위해 $ e^{iHt} = e^{-s}e^{iH_dt}e^{s} $를 통한 유니터리 변환을 적용한다.
• 관측값의 장기 평균을 $ \textstyle\langle A(t)\rangle = \sum_\alpha |\langle\alpha|\psi(0)\rangle|^2 \langle\alpha|A|\alpha\rangle $로 유도하며, 이는 대각행렬에 해당한다.
• 특히 통합 가능하고 불순물이 있는 경우에 효율적인 한계에서 일차원 시스템의 시간 진동을 시뮬레이션하기 위해 행렬 곱 연산자 형식을 활용한다.
• 보존 연산자 $ P_{\alpha_i} $ 가 존재할 경우 대각화 및 GGE 기대값을 다루기 위해 편미분 평균 행렬 요소 $ \tilde{A}_{\alpha_1\cdots\alpha_n} $ 를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비평형 양자 시스템에서 관측값의 장기 평균은 초기 상태와 보존량에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 시스템이 열역학적 평형에 도달하지 못하는 조건는 무엇이며, 그 점차적 비열역학적 평형 상태는 어떤 특징을 갖는가?
• RQ3 일반화된 지브스 군집(GGE)은 통합 가능 및 비통합 가능 시스템에서 장기적 행동을 예측할 때 마이크로canonical 군집과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 밀도 행렬의 비대각 항은 안정화 역학에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 시간이 지남에 따라 어떻게 감쇠되는가?
• RQ5 잡음이나 확률적 힘이 존재할 경우, 열역학적 평형이 이루어지지 않는 상황에서 어떻게 무한온도 준정상 상태에 도달하는가?

주요 결과

• 관측값의 장기 평균은 $ \langle A(t)\rangle = \sum_\alpha |\langle\alpha|\psi(0)\rangle|^2 \langle\alpha|A|\alpha\rangle $로 주어지는 대각행렬로 수렴하며, 이는 초기 상태가 에너지 고유상태와 겹치는 정도에만 의존한다.
• 통합 가능한 시스템에서는 보존량에 의해 제약을 받고 열역학적 평형에 도달하지 않으며, 대신 GGE로 기술된다.
• 충분한 통합성 파괴가 있는 비통합 가능한 시스템에서는 시스템이 열역학적 평형에 도달하며, 장기 평균은 마이크로canonical 군집의 열역학적 기대값과 일치한다.
• 크게 잡힌 잡음이 있는 확률적 동역학에서는 무한온도 준정상 상태로 점차적으로 도달하며, 이 상태에 도달하는 거리는 무한한 시간 평균에서만 실현된다.
• 비대각 기여는 $ O(g^3) $로 억제되며, 에너지 준위 차이 $ E_a - E_b $ 에 의해 조절되는 진동하는 감쇠가 일어나 비통합 가능한 경우에도 지속적인 변동을 유도한다.
• 행렬 곱 연산자 방법은 통합 가능하고 불순물이 있는 시스템의 시간 진동을 효율적으로 시뮬레이션하지만, 얽힘 증가로 인해 비통합 가능한 모델에 대해서는 비효율적이다.