[논문 리뷰] Time in classical and quantum mechanics

Jesús Muñoz-Díaz, R.J. Alonso-Blanco|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 12.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자유 시스템의 시간 제약 조건 또는 허츠의 투영을 통해 고전역학에서 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 기하학적으로 유도한다. 양자역학에서 시간 매개변수는 해밀턴-자비 방정식에서 뉴턴의 시간과 파동 시간의 선형 조합으로 나타나며, 주파수-에너지 관계 $E = h\nu$는 슈퍼포지션에서는 해석할 수 없고 정상 상태에서만 고전적으로 해석 가능하다.

ABSTRACT

In this article we study the nature of time in Mechanics. The fundamental principle, according to which a mechanical system evolves governed by a second order differential equation, implies the existence of an absolute time-duration in the sense of Newton. There is a second notion of time for conservative systems which makes the Hamiltonian action evolve at a constant rate. In Quantum Mechanics the absolute time loses its sense as it does the notion of trajectory. Then, we propose two different ways to reach the time dependent Schrödinger equation. One way consists of considering a "time constraint" on a free system. The other way is based on the point of view of Hertz, by considering the system as a projection of a free system. In the later manner, the "time" appearing in the Schrödinger equation is a linear combination of the time-duration with the "time" quotient of the action by the energy on each solution of the Hamilton-Jacobi equation. Both of them are based on a rule of quantization that we explain in Section 4.

연구 동기 및 목표

• 표준 양자역학 이론에서 외부 매개변수로 작용하는 시간의 본질을 명확히 하기 위해.
• 슈뢰딩거 방정식의 시간 매개변수에 대한 해석의 모호함과 고전적 시간 및 작용과의 관계를 해결하기 위해.
• 고전적 제2차 동역학을 양자 진동수로 일관되게 매핑하는 기하학적 양자화 규칙을 수립하기 위해.
• 주기적 궤도를 가진 시스템에서 $E = h\nu$의 주파수를 고전적으로 해석할 수 있는지 조사하기 위해.
• 슈뢰딩거 방정식의 시간이 절대적 시간이 아니라 작용과 에너지 준위에 연결된 유도된 양임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 자유 기계 시스템에 시간 제약 조건을 도입하여, 선택된 함수가 등속도로 변화하는 궤적의 상태 공간으로 제한함으로써 고전적 시간 매개변수를 정의한다.
• 대변량 텐서장에 대한 일반적인 양자화 규칙을 적용하여 고전적 관측량인 에너지 및 운동량을 양자 연산자로 매핑한다.
• 고전적 보존 시스템을 고차원 공간에서 제약 조건이 가해진 기하학적 궤적으로 모델링하기 위해 허츠의 투영을 사용하며, 이로써 이중 시간 매개변수를 도입한다.
• 제약 조건이 가해진 시스템에서 해밀턴ian과 시간 진동수 연산자를 양자화함으로써 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 유도하며, 결과적으로 $\widehat{H}\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t^0}$를 도출한다.
• 뉴턴의 시간 $t$와 해밀턴-자비 작용에서 유도된 파동 시간 $\tau = S/E$를 바탕으로 $t^0 = \tau - 2t$로 정의된 양자 시간 매개변수를 도입한다.
• 스톤의 정리를 적용하여 $t^0$가 $-i\widehat{H}/\hbar$에 의해 생성된 유니터리 군의 매개변수임을 해석함으로써 양자역학적 동역학과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 시간 매개변수는 어떻게 고전역학 원리로부터 도출될 수 있는가?
• RQ2 허츠의 투영을 통해 유도된 슈뢰딩거 방정식에 나타나는 시간 $t^0$의 고전적 해석은 무엇인가?
• RQ3 $E = h\nu$ 관계는 주기적 궤도를 가진 시스템에서 일관된 고전적 해석을 허용하는가?
• RQ4 왜 슈뢰딩거 방정식의 시간 매개변수가 에너지 고유상태의 슈퍼포지션에서는 고전적 의미를 갖지 못하는가?
• RQ5 통일된 기하학적 프레임워크를 통해 뉴턴의 시간, 파동 시간, 그리고 양자 시간을 보존 시스템에서 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 허츠의 투영을 통해 유도된 슈뢰딩거 방정식의 시간 매개변수 $t^0$은 뉴턴의 시간 $t$와 파동 시간 $\tau = S/E$의 선형 조합으로 주어지며, $t^0 = \tau - 2t$이다.
• 조화 진동자에서는 $t$, $\tau$, $t^0$의 주기가 일치하여 $\nu = E/h$가 고전적 주파수와 일致한다.
• 케플러 문제에서는 $t^0$가 한 주기 동안 $-4T$로 누적되며, 파동함수의 위상은 $T$ 후에 복귀하여 $\nu = E/h$와 일致한다.
• 슈뢰딩거 방정식 $\widehat{H}\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t^0}$는 상태의 슈퍼포지션에도 성립하지만, 이 경우 $t^0$는 고전적 해석을 갖지 못한다.
• 양자화 규칙은 고전적 제2차 동역학을 양자 진동수로 매핑하며, 해밀턴ian $\widehat{H} = -\frac{1}{2}\hbar^2 \Delta + U$는 기하학적 구조에서 자연스럽게 도출된다.
• 시간 $t^0$는 구성 공간의 함수가 아니라 탄성다발 위의 1형식의 동치류이므로, 물리적 관측량이 아니라 진동수의 매개변수로서의 역할을 반영한다.