[논문 리뷰] Time inhomogeneous Generalized Mehler Semigroups

Shun-Xiang Ouyang, Michael Röckner|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 위에서 시간에 비례하지 않는 일반화된 메하러 셈그룹에 대해 치수에 의존하지 않는 하르낙 부등식을 수립하며, 레비 과정에 의해 구동되는 비자기적 옴스타인-울렌벡 과정과 연결한다. 이 부등식들을 통해 강한 펠러 성질과 수축성을 증명하고, 왜곡된 콘볼루션 방정식을 만족하는 진화 체계의 측도에 대한 스펙트럼 표현과 존재/유일성 결과를 제공한다.

ABSTRACT

A time inhomogeneous generalized Mehler semigroup on a real separable Hilbert space ${\mathds{H}}$ is defined through $$ p_{s,t}f(x)=\int_{\mathds{H}} f(U(t,s)x+y)\,μ_{t,s}(dy), \quad t\geq s, \ x\in{\mathds{H}} $$ for every bounded measurable function $f$ on ${\mathds{H}}$, where $(U(t,s))_{t\geq s}$ is an evolution family of bounded operators on ${\mathds{H}}$ and $(μ_{t,s})_{t\geq s}$ is a family of probability measures on $({\mathds{H}}, \B({\mathds{H}}))$ satisfying the time inhomogeneous skew convolution equations $$μ_{t,s}=μ_{t,r}*(μ_{r,s}\circ U(t,r)^{-1}),\quad t\geq r\geq s.$$ This kind of semigroup is closely related with the transition semigroup" of non-autonomous (possibly non-continuous) Ornstein-Uhlenbeck process driven by some proper additive process. We show the weak continuity, infinite divisibility, associated "additive processes", Lévy-Khintchine type representation, construction and spectral representation of $(μ_{t,s})_{t\geq s}$. We study the structure, existence and uniqueness of the corresponding evolution systems of measures (=space-time invariant measures) of $(p_{s,t})_{t\geq s}$. We also establish dimension free Harnack inequalities in the sense of Wang (1997, PTRF) for $(p_{s,t})_{t\geq s}$. As applications of the Harnack inequalities, we investigate the strong Feller property and contractivity etc. for $p_{s,t}$. Finally we prove a Harnack inequality and show the strong Feller property for the transition semigroup of a semi-linear non-autonomous Ornstein-Uhlenbeck process driven by a Wiener process.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능한 힐버트 공간 위에서 시간에 비례하지 않는 일반화된 메하러 셈그룹의 포괄적인 이론을 구축하는 것.
• 관련된 시간에 비례하지 않는 왜곡된 콘볼루션 셈그룹의 확률 측도에 대해 약한 연속성, 무한히 나누어지기 가능성, 스펙트럼 표현을 수립하는 것.
• 이 셈그룹에 대해 진화 체계의 측도(공간-시간 불변 측도)의 존재성과 유일성을 조사하는 것.
• 왕(1997)의 의미에서 치수에 의존하지 않는 하르낙 부등식을 유도하고, 이를 통해 강한 펠러 성질과 수축성을 증명하는 것.
• 위너 과정에 의해 구동되는 반선형 비자기적 옴스타인-울렌벡 과정으로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 시간에 비례하지 않는 일반화된 메하러 셈그룹을 $ p_{s,t}f(x) = \int_{\mathds{H}} f(U(t,s)x + y) \, \mu_{t,s}(dy) $ 로 정의하며, 여기서 $ (U(t,s)) $ 는 진화 가닥이고 $ (\mu_{t,s}) $ 는 왜곡된 콘볼루션 방정식 $ \mu_{t,s} = \mu_{t,r} * (\mu_{r,s} \circ U(t,r)^{-1}) $ 를 만족한다.
• 스펙트럼 표현 기법을 사용하여 $ \mu_{t,s} $ 에 대해 레비-힌친 표현을 수립하고, 이를 고전적, 점프, 이동 성분으로 분해한다.
• 왜곡된 콘볼루션 방정식을 사용하여 $ \mu_{t,s} $ 의 구조를 특성화하고, 무한히 나누어지기 가능성과 약한 연속성을 증명한다.
• 진화 체계의 측도를 방정식 $ \mu_{t,s} = \mu_{t,r} * (\mu_{r,s} \circ U(t,r)^{-1}) $ 의 해로 구성하고, 적절한 조건 하에서 존재성과 유일성을 증명한다.
• 커플링 및 로그-소블레브 유형의 추론을 사용하여 $ p_{s,t} $ 에 대해 치수에 의존하지 않는 하르낙 부등식을 도출하고, 이를 통해 정규성 성질을 이끌어낸다.
• 하르낙 부등식을 적용하여 셈그룹의 강한 펠러 성질과 수축성을 증명하고, 위너 노이즈를 갖는 반선형 확률 미분 방정식으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 비례하지 않는 일반화된 메하러 셈그룹은 어떻게 왜곡된 콘볼루션 방정식과 관련된 측도를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 시간에 비례하지 않는 전이 커널 $ \mu_{t,s} $ 의 스펙트럼 표현과 레비-힌친 표현은 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 이러한 셈그룹에 대해 진화 체계의 측도가 존재하고 유일한가?
• RQ4 비자기적 옴스타인-울렌벡 과정에 대해 치수에 의존하지 않는 하르낙 부등식을 수립할 수 있으며, 이를 통해 어떤 정규성 결과가 도출되는가?
• RQ5 위너 과정에 의해 구동되는 반선형 비자기적 옴스타인-울렌벡 과정에 대해 강한 펠러 성질이 성립하는가, 그리고 하르낙 부등식을 통해 어떻게 이를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 시간에 비례하지 않는 일반화된 메하러 셈그룹에 대해 치수에 의존하지 않는 하르낙 부등식을 수립하였으며, 왕(1997)의 프레임워크를 비자기적 설정으로 확장하였다.
• 유도된 하르낙 부등식을 사용하여 전이 셈그룹 $ p_{s,t} $ 의 강한 펠러 성질을 증명하였으며, 이는 전이 밀도의 미세성 보장한다.
• 진화 가닥 $ (U(t,s)) $ 와 가닥 $ (\mu_{t,s}) $ 에 대해 약한 조건 하에서 진화 체계의 측도의 존재성과 유일성이 확립되었다.
• $ \mu_{t,s} $ 에 대해 스펙트럼 표현을 구성하였으며, 이를 고전적, 점프, 이동 성분으로 분해하였고, 각 성분에 대해 명시적인 형태를 제공하였다.
• 위너 과정에 의해 구동되는 반선형 비자기적 옴스타인-울렌벡 과정에 대해 하르낙 부등식을 증명하였고, 강한 펠러 성질을 확립하였다.
• 비자기적 선형 제어 시스템의 영 제어 가능성은 연산자 $ \Pi_{t,s}^{1/2} $ 의 범위를 통해 특성화되었으며, 에너지 추정은 $ |\Pi_{t,s}^{-1/2}U(t,s)x|^2 $ 를 통해 제공되었다.