[논문 리뷰] Topological groups of Kac-Moody type, Fuchsian twinnings and their lattices

Bertrand Rémy, Mark Ronan|arXiv (Cornell University)|2002. 05. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 오른쪽-각지향 쌍극성 초평면의 아파트를 갖는 푸앵카인 쌍극성 빌딩을 사용하여, Kac-Moody 유형의 비선형 위상수학적 군을 구성한다. 이에 따라 이러한 군이 특성 0에서 선형 격자와 특성 p > 0에서만 선형화 가능한 비균일 격자를 동시에 가질 수 있음을 보여준다. 핵심 기여는 Kac-Moody 군에서 유래하지 않는 모프링 쌍극성 빌딩의 존재를 보여주며, 이는 이국적인 격자와 국소체 위의 단순군에 대한 유사성에 도전한다.

ABSTRACT

This paper deals with a class of totally disconnected groups acting on buildings, among which are certain Kac-Moody groups. The apartments of our buildings are hyperbolic planes tiled by right-angled polygons. We discuss linearity properties for the groups, as well as an analogy with semisimple groups over local fields of positive characteristic. Looking for counter-examples to this analogy leads to the construction of Moufang twinnings "with several ground fields".

연구 동기 및 목표

• 특성 p > 0인 국소체 위의 단순군과 위상수학적 Kac-Moody 군 간의 유사성을 조사한다.
• Kac-Moody 군에서 유래하지 않는 쌍극성 루트 데이터를 구성함으로써, 비2-구형(non-2-spherical) 이방성 쌍극성 빌딩을 이끌어낸다.
• 이러한 빌딩 내에서 균일 격자(특성 0에서 선형)와 비균일 격자(특성 p에서만 선형화 가능한)의 존재를 보여준다.
• 이러한 군이 가상으로 프로-p 최대 컴actsubgroup을 가지며, 혼합된 선형성 행동을 보임을 확립한다.

제안 방법

• 푸앵카인 쌍극성 빌딩을 구성하여, 초평면에서 오목한 r각형(r ≥ 5)으로 아파트를 테일러링함으로써, 보르돈의 분류에 따라 푸앵카인 빌딩을 실현한다.
• 정규 r각형 R에 따라 인덱싱된 유한군의 순서체계(parabolic subgroups)를 사용하여 기본군 Γr,1+q를 정의하고, 이를 격자로 간주한다.
• 복합체의 기본군에 대한 티츠의 정리를 적용하여 Γr,1+q가 방향에 대해 단순히 전이적임을 보이며, 균일성을 증명한다.
• PGL2(Fq)와 (Fq×)r의 부분군을 사용하여, 유한군의 순서체계의 준동형 사상들을 통해 기본군 Γr,1+q를 Kac-Moody 군 Λ의 이미지에 매립한다.
• 보르돈의 결과를 적용하여, sin(π/r) < 1/√(q+1) 조건을 만족할 경우 Γr,1+q를 실수 초평면 H2q 내의 볼록 코컴팩트 이sov메트리 군으로 매립한다.
• 포화 부분군의 리바 인자 및 중심 Z(Λ) ≅ (Fq×)^r의 구조를 분석하여, 작용 준동형사상 φ에 의한 Λ의 이미지 구조를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상수학적 Kac-Moody 군은 특성 p > 0인 국소체 위의 단순군과 어느 정도 유사한가?
• RQ2 Kac-Moody 군에서 유래하지 않는 모프링 쌍극성 빌딩을 구성할 수 있는가, 특히 비2-구형 설정에서?
• RQ3 이러한 이방성 군은 혼합된 선형성 특성을 가진 격자를 갖는가 — 특성 0에서 선형이고 특성 p에서만 선형화 가능한가?
• RQ4 기본군 Γr,1+q가 실수 초평면 H2q 내에서 볼록 코컴팩트 부분군으로 매립되기 위한 r과 q의 조건은 무엇인가?
• RQ5 위상수학적 Kac-Moody 군의 최대 컴팩트 부분군은 프로-p 성질을 어떻게 보이는가?

주요 결과

• 군 Γr,1+q는 오른쪽-각지향 푸앵카인 빌딩 Ir,1+q의 균일 격자이며, 방향에 대해 단순히 전이적 작용을 한다.
• r가 짝수이고 sin(π/r) < 1/√(q+1)일 경우, Γr,1+q는 실수 초평면 H2q 내에서 볼록 코컴팩트 이sov메트리 군으로 매립된다.
• Λ로부터 유도된 위상수학적 Kac-Moody 군 G는 가상으로 프로-p 최대 컴팩트 부분군을 가지며, 이는 빌딩 내에서 정점 고정자들로 기능하기 때문이다.
• Γr,1+q는 정규 r각형에 따라 인덱싱된 복합체의 기본군이며, 변과 정점의 군은 각각 Z/(q+1)과 Z/(q+1)×Z/(q+1)이다.
• φ(Λ)는 PGL2(Fq) × (Fq×)^r−1과 (PGL2(Fq) × PGL2(Fq)) × (Fq×)^r−2와 동형인 부분군을 포함하며, 이는 리바 인자 구조를 반영한다.
• Γr,1+q는 유한군의 순서체계 준동형 사상에 의해 φ(Λ)에 매립되며, 이는 Γr,1+q가 위상수학적 Kac-Moody 군 G의 부분군임을 확인한다.