[논문 리뷰] Topologies on groups determined by sequences: Answers to several questions of I.Protasov and E.Zelenyuk

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 20.

Medical and Biological Sciences참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Protasov와 Zelenyuk가 제기한 T-시퀀스로 결정되는 군 위상수학에 관한 여러 미해결 문제를 해결한다. Z에서 임의의 다항식 성장률을 갖는 T-시퀀스의 존재를 증명하고, Z에서의 링이 아닌 T-시퀀스로서 사전에 정해진 지수 비율을 갖는 시퀀스를 구성하며, Z 위의 두 T-시퀀스 위상의 합집합이 반드시 완비이거나 T-시퀀스에 의해 결정되지 않을 수 있음을 보이며, 동시에 T-시퀀스 위상과 메트라이잭빌리티 위상의 합집합이 비자명한 수렴 수열을 포함하지 않는 군이 존재할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We answer several questions of I.Protasov and E.Zelenyuk concerning topologies on groups determined by T-sequences. A special attention is paid to studying the operation of supremum of two group topologies.

연구 동기 및 목표

• Z 및 관련 위상군 내 T-시퀀스의 존재성과 구조에 관한 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 시퀀스의 성장률과 그들이 0으로 수렴하는 군 위상의 존재성 간의 관계를 조사하기 위해.
• 가 countable 군 위에서 두 T-시퀀스 위상의 합집합이 반드시 완비이거나 T-시퀀스에 의해 결정되는가를 판단하기 위해.
• 아벨 군 위에 T-시퀀스 위상과 메트라이잭빌리티 위상이 동시에 존재할 수 있으며, 그 합집합 위상이 비자명한 수렴 수열을 포함하지 않는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 주어진 메트라이잭빌리티이고 완비성이 보장되는 위상 τ 내에서 0으로 수렴하는 성장률이 사전에 정해진 시퀀스(예: f(n) = r^n + n^2)를 Z 내에서 구성하고, 거리와 유계성 성질을 이용하여 수렴을 보이기 위해.
• Baire 범주 원리와 이웃계의 구성 방법을 적용하여 주어진 위상 τ 내에서 시퀀스가 0으로 수렴함을 검증하기 위해.
• 시퀀스 (a_n)가 T-시퀀스일 조건은 0으로 수렴하는 어떤 비이산 Hausdorff 군 위상에서 성립한다는 사실을 이용하기 위해.
• τ₁ ∨ τ₂의 비완비성을 보이기 위해, τ₁ × τ₂의 곱 위상에서 대각선이 닫혀 있지 않음을 보여주는 방법을 사용하기 위해.
• 유한 지지 부분군의 귀납적 극한을 통해 Z^ω_f 위에 위상 τ를 구성하고, 2^nZ 수준을 통해 메트라이잭빌리티 위상 τ′를 구성하기 위해.
• τ와 τ′ 내에서의 수렴을 결합하여, τ ∨ τ′ 내에서 수렴하는 임의의 시퀀스는 결국 0이어야 한다는 것을 보여주어 비자명한 수렴 수열이 존재하지 않음을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 알려진 T-시퀀스가 지수 성장률을 보이는데도 불구하고, Z 내에서 다항식 성장률을 갖는 T-시퀀스가 존재할 수 있는가?
• RQ2 Z 내의 시퀀스가 비율 극한 r > 1을 갖는다면, 어떤 Hausdorff 링 위상에서라도 그 시퀀스는 Z 내에서 T-시퀀스여야 하는가?
• RQ3 가 countable 군 위에서 두 T-시퀀스로 결정되는 군 위상의 합집합이 반드시 완비이거나 T-시퀀스에 의해 결정되는가?
• RQ4 가 countable 아벨 군이 T-시퀀스 위상과 메트라이잭빌리티 위상을 동시에 갖되, 그 합집합 위상은 비이산이지만 비자명한 수렴 수열을 포함하지 않는가?

주요 결과

• 모든 증가 함수 f: N → N 에 대해 lim(f(n+1)−f(n)) = ∞ 이고, Z 위의 메트라이잭빌리티이고 완비성이 보장되는 위상 τ 에 대해, (Z, τ) 내에서 0으로 수렴하는 시퀀스 (a_n) 가 존재하여 lim(a_n / f(n)) = 1 이다.
• 모든 r > 1 에 대해, Z 내에서 lim(a_{n+1}/a_n) = r 를 만족하는 시퀀스 (a_n) 가 존재하지만, 이는 어떤 Hausdorff 링 위상에서도 0으로 수렴하지 않으며, 따라서 Z 내에서 T-시퀀스가 아니다.
• T-시퀀스로 결정되는 가산 위상 아벨 군 G 가 존재하여, G 와 위상적으로 동형인 닫힌 부분군 H 를 포함하지만, H 는 T-시퀀스에 의해 결정되지 않는다.
• Z 위에 두 개의 군 위상 τ₁, τ₂ 가 존재하여, 각각 T-시퀀스에 의해 결정되지만, τ₁ ∨ τ₂ 는 완비가 아니며 따라서 T-시퀀스에 의해 결정되지 않는다.
• 가산 아벨 군이 T-시퀀스 위상 τ 와 메트라이잭빌리티 위상 τ′ 를 동시에 갖되, τ ∨ τ′ 는 비이산이지만 비자명한 수렴 수열을 포함하지 않는다.
• T-시퀀스 (a_n) 와 (a_n + c) 로 구성된 Z 위의 위상 τ₁ ∨ τ₂ 는 완비가 아니며, 각 τ_i 는 T-시퀀스에 의해 결정되지만, 여전히 완비가 아니다.