[논문 리뷰] Toric Degeneration of Bott-Samelson-Demazure-Hansen varieties

A. J. Parameswaran, Paramasamy Karuppuchamy|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아핀 선 위의 평탄한 가 families를 통해 BSDH 다양체를 스무스 토릭 다양체로 대수적 분리함으로써, 특수 섬유가 잘 정의된 앰플 콘을 갖는 토릭 다양체임을 증명한다. 주요 기여는 한정된 토릭 다양체의 앰플 콘을 완전히 기술하고, 교차 이론과 루트 시스템 자료를 이용하여 그것이 팬오일 때의 조건을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we construct a degeneration of Bott-Samelson-Demazure-Hansen varieties to toric varieties in an algebraic family and study the geometry of the resulting toric varieties. We give a natural set of torus invariant curves that generate the Chow group of $1$-cycles of the limiting toric variety and express the ample cone of this toric variety as a sub-cone of the ample cone of the corresponding Bott-Samelson-Demazure-Hansen variety. We also give a description of Extremal and Mori rays and determine when this toric variety is Fano.

연구 동기 및 목표

• 아핀 선 위에서 BSDH 다양체를 토릭 다양체로 대수적 분리하는 것.
• 원래 BSDH 다양체의 앰플 콘을 바탕으로 한계 토릭 다양체의 앰플 콘을 기술하는 것.
• 한계 토릭 다양체의 반가역선다발이 앰플일 조건, 즉 그것이 팬오일 조건을 필요로 하는 필수 및 필요충분 조건을 제공하는 것.
• 한계 토릭 다양체 위의 곡선의 초등군을 분석하고, 토르스 불변 곡선의 기저를 제공하는 것.
• 루트 시스템 자료를 이용하여 한계 토릭 다양체의 극한 및 모리 레이를 특성화하는 것.

제안 방법

• 아핀 선 $\mathbb{A}^1$ 위에 평탄한 다양체의 가 families를 구성하여, 일반 섬유가 BSDH 다양체와 동형이고 특수 섬유가 스무스 토릭 다양체와 동형이 되도록 하는 것.
• 일반선형군 $\mathbb{G}_m$ 에서 $T$ 로의 일차원 부분군 $\xi: \mathbb{G}_m \to T$ 를 사용하여, 코어지션 작용을 통한 분리 정의하고, 보렐 부분군 $B$ 위에 가족의 자동형사상을 유도하는 것.
• 리브레 프로젝션 $\phi_0: B \to T$ 를 이용하여, 극한 구성법을 통해 특수 섬유를 토릭 다양체로 정의하는 것.
• Lauritzen과 Thomsen의 정리를 적용하여, 슈부르트 곡선과의 교차 수를 이용해 BSDH 다양체 위의 선다발의 앰플성을 특성화하는 것.
• 곡선류 $L_k(\mathbf{w})$ 에 대한 재귀 관계와 루트 쌍화 데이터 $d_{i_j}([k-1]\mathbf{w})$ 를 사용하여, 토릭 극한 위의 곡선 초등군을 기술하는 것.
• 모든 토르스 불변 곡선이 기저 원소의 음이 아닌 선형 조합으로 표현되도록, 토릭 다양체 위의 곡선 초등군에 대한 기저를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 선 위에서 BSDH 다양체를 스무스 대수적 분리하여 특수 섬유가 토릭 다양체가 되는가?
• RQ2 한계 토릭 다양체의 앰플 콘의 구조는 어떻게 되며, 원래 BSDH 다양체의 앰플 콘과 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 한계 토릭 다양체의 반가역선다발이 앰플일 조건은 무엇인가? 즉, 토릭 다양체가 팬오일 조건은 무엇인가?
• RQ4 한계 토릭 다양체 위의 곡선 초등군은 어떻게 기술할 수 있으며, 모든 토르스 불변 곡선이 기저 원소의 음이 아닌 조합이 되도록 하는 기저는 무엇인가?
• RQ5 루트 시스템 자료를 이용하여 한계 토릭 다양체의 극한 및 모리 레이를 완전히 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathbb{A}^1$ 위에 평탄한 가 families를 구성하여, 일반 섬유가 BSDH 다양체와 동형이고 특수 섬유가 스무스 토릭 다양체와 동형임을 보여, 대수적 분리를 확립한다.
• 한계 토릭 다양체의 앰플 콘은 원래 BSDH 다양체의 앰플 콘의 부분콘으로 기술되며, 교차 이론을 통해 정확한 포함 사상이 유도된다.
• 한계 토릭 다양체의 반가역선다발이 앰플일 조건은 다음과 같다: 모든 $k$ 에 대해 계수 $d_{i_j}([k-1]\mathbf{w})$ 의 합이 양성 조건을 만족해야 하며, 이는 팬오 성질을 보장한다.
• 모든 토르스 불변 곡선이 기저 원소의 음이 아닌 조합이 되도록, 한계 토릭 다양체 위의 곡선 초등군에 대한 기저를 구성하였으며, 명시적인 알고리즘이 제시되었다 (레마 23 및 24).
• 극한 및 모리 레이의 완전한 기술은 루트 시스템 자료를 이용하여 이루어졌으며, 특히 쌍화 $d_{i_j}([k-1]\mathbf{w})$ 와 곡선류 전개에서의 계수 $a_k$ 가 핵심이다.
• 논문은 BSDH 다양체 위의 선다발 $\mathcal{L}$ 이 앰플임을 보였으며, 이는 그 선다발이 슈부르트 곡선 $L_k(\mathbf{w})$ 와의 교차 수에서 모든 계수 $a_k$ 가 양수일 때에만 성립함을 확인하여, 교차 수를 통한 앰플 기준을 확인한다.