[논문 리뷰] Toric varieties - degenerations and fundamental groups

Meirav Amram, Shōetsu Ogata|arXiv (Cornell University)|2003. 12. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 열린 기하학과 브레이드 단조성 기법을 통해 네 가지 특수 토릭 표면의 분기 곡선의 여부의 기본군을 계산한다. 토릭 기하학과 재구성 규칙을 이용하여, π₁(ℂℙ² \ B)의 명시적 표현을 브레이드 군의 몫으로 제시하며, 주요 결과로는 ℬ₅/⟨Γ₄²Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂Γ₃⟩, ℬ₆/⟨Γ₃Γ₄Γ₅²Γ₄Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂⟩, ℬ₄/⟨Γ₂Γ₃²Γ₂Γ₁²⟩, 그리고 A₁ 특이점을 가진 특이 토릭 표면에 대해 ℬ₆/⟨[X,Y]⟩의 몫으로의 동형이 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we calculate fundamental groups (and some of their quotients) of complements of four toric varieties branch curves. For these calculations, we study properties and degenerations of these toric varieties and the braid monodromies of the branch curves in $\mathbb{CP}^2$. The fundamental groups related to the first three toric varieties turn to be quotients of the Artin braid groups $\mathcal{B}_5$, $\mathcal{B}_6$, and $\mathcal{B}_4$, while the fourth one is a certain quotient of the group $ ilde{\mathcal{B}}_6 = \mathcal{B}_6/$, where $X, Y$ are transversal. The quotients of all four groups by the normal subgroups generated by the squares of the standard generators are respectively $S_5, S_6, S_4$ and $S_6$. We therefore conclude that the fundamental groups of the Galois covers of the four given toric varieties are all trivial.

연구 동기 및 목표

• 특정 토릭 표면에서의 일반적인 사영 사상의 분기 곡선 B에 대해 π₁(ℂℙ² \ B)의 기본군을 계산하는 것.
• 히르체브루흐 표면 F₁, F₀, F₂ 및 A₁ 특이점을 가진 특이 토릭 표면을 포함한 새로운 토릭 다양체로 브레이드 단조성 기법을 확장하는 것.
• 모이셰존과 티처의 스키마적 퇴화 다이어그램을 토릭 기하학을 통해 기하학적 해석을 제공하는 것.
• 퇴화된 평면 구성에 대해 반 캄펜 정리와 재구성 규칙을 적용하여 기본군의 유한한 표현을 수립하는 것.

제안 방법

• 토릭 표면 X를 n개의 평면의 합집합 X₀로 퇴화시키며, B₀은 교차선의 합집합이 된다.
• 문헌 [25]의 재구성 규칙을 이용해 브레이드 단조성 인수분해를 B₀에서 B로 올리는 것.
• 반 캄펜 정리를 적용하여 Γ₁, Γ₁′, ..., Γₘ, Γₘ′의 2m개 생성자를 가진 π₁(ℂ² \ B)의 유한 표현을 도출하는 것.
• π₁(ℂℙ² \ B)를 얻기 위해 프로젝티브 관계 Γₘ′⋯Γ₁′Γ₁⋯Γₘ = e를 통합하는 것.
• 브레이드 군 관계와 기하학적 경로 선택을 통해 중복된 생성자와 간소화된 관계를 제거하는 것.
• 특이 표면의 경우, π₁(ℂℙ² \ B₄)가 X, Y가 수직인 반전 이동인 ℬ₆/⟨[X,Y]⟩의 몫과 동형임을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hirzebruch 표면 F₁이 ℂℙ⁶에 s+3g로 임bed된 경우, 일반적 사영 사상의 분기 곡선에 대해 π₁(ℂℙ² \ B)는 무엇인가?
• RQ2 F₀가 ℂℙ²ⁿ⁺¹에 𝒪(1,n)로 임bed된 경우, 브레이드 단조성 인수분해와 기본군은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 A₁ 특이점을 가진 특이 토릭 표면 X₄가 ℂℙ⁶에 임bed된 경우, π₁(ℂℙ² \ B)의 구조는 무엇인가?
• RQ4 퇴화와 재구성 방법을 토릭 기하학의 통찰을 활용하여 비가환 토릭 표면에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ5 기본군의 관계는 퇴화된 구성의 위상수학적 및 기하학적 구조를 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• π₁(ℂℙ² \ B₁) ≅ ℬ₅ / ⟨Γ₄²Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂Γ₃⟩이며, 이때 B₁은 ℂℙ⁶에 s+3g로 임bed된 F₁의 분기 곡선이다.
• π₁(ℂℙ² \ B₂) ≅ ℬ₆ / ⟨Γ₃Γ₄Γ₅²Γ₄Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂⟩이며, F₀가 ℂℙ⁷에 𝒪(1,3)으로 임bed된 경우이며, ℂℙ²ⁿ⁺¹에 𝒪(1,n)로 일반화된 경우이다.
• π₁(ℂℙ² \ B₃) ≅ ℬ₄ / ⟨Γ₂Γ₃²Γ₂Γ₁²⟩이며, F₂가 ℂℙ⁵에 s+3g로 임bed된 경우이다.
• π₁(ℂℙ² \ B₄)는 X와 Y가 수직인 반전 이동인 ℬ₆ / ⟨[X,Y]⟩의 몫과 동형이며, 이는 A₁ 특이점을 가진 특이 토릭 표면에 해당한다.
• 관계 (87)은 중복되며, 양변이 모두 Γ₂와 같기 때문에 Γ₂′와 Γ₆′를 제거할 수 있어 표현이 단순화된다.
• 모든 Γⱼ² = e일 때, 군 Π(B₄)는 S₆와 동형이며, 나머지 관계들이 대칭군을 정의하는 데에 충분함을 확인한다.