[논문 리뷰] Torus invariant transverse Kähler foliations

Hiroaki Ishida|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 22.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 콪트-불라우-자프란의 추측을 해결하여, 최대 토르스 작용을 갖는 컴팩트 복소다양체 위의 토르스-불변 가로 Kähler 평행자류에 대해 모멘트 맵의 상이 볼록임을 증명한다. 이는 이러한 평행자류가 가로 Kähler임과 동시에 기저 다양체가 LVM 다양체임과 동치임을 보여준다. 주요 기여는 LVMB 다양체가 가로 Kähler 평행자류를 갖는다는 것과 LVM 다양체임이 동치임을 보여주는 것으로, Cupit-Foutou와 Zaffran의 추측을 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we show the convexity of the image of a moment map on a transverse symplectic manifold equipped with a torus action under a certain condition. We also study properties of moment maps in the case of transverse Kähler manifolds. As an application, we give a positive answer to the conjecture posed by Cupit-Foutou and Zaffran.

연구 동기 및 목표

• LVMB 다양체와 LVM 다양체 간의 동치성에 대해 Cupit-Foutou와 Zaffran의 추측을 해결하는 것.
• 콤���트 복소다양체 위의 토르스 작용 하에서 가로 Kähler 평행자류에 대해 모멘트 맵의 존재성과 볼록성을 확립하는 것.
• 모멘트 맵 기하학과 다각형 포인트의 조합론을 사용하여 토르스 작용에 의해 유도된 헬름홀로픽 평행자류가 가로 Kähler임을 특성화하는 것.
• Atiyah-Guillemin-Sternberg의 볼록성 정리를, 토르스 작용을 갖는 평행자류 다각체에서의 가로 심플렉틱 및 Kähler 형식으로 일반화하는 것.

제안 방법

• Atiyah-Guillemin-Sternberg의 볼록성 정리를, 토르스 작용을 갖는 평행자류 다각체에서의 가로 심플렉틱 및 Kähлер 형식에 적용한다.
• 상자 공간 M = X(Δ_Σ)/H에 대해 올린 모멘트 맵 Φ̃: M → (g/g_J)*를 구성하며, 그 상이 볼록 다각형임을 보인다.
• 기저 공간 X(Δ_Σ)의 모멘트 맵 Φ를 사용하고, 쌍대 사상 i*를 통해 수준집합 (i*∘Φ)^{-1}(β)에서의 가로 모멘트 맵을 유도한다.
• g/g_J 내의 완전한 포인트 q(Δ) 이론을 적용하여 평행자류의 기하학과 모멘트 맵 상의 다각형성 간의 관계를 규명한다.
• 평행자류 F_g_J의 가로 Kähler 성질과 포인트 q(Δ)의 다각형성 간의 동치성을 확립한다.
• 등변 헬름홀로픽 주요 번들의 이론을 활용하여, 몰입된 공간 간의 가로 Kähler 구조와 모멘트 맵 성질을 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 복소다양체 위의 토르스 작용이 평행자류 F_g_J에 대해 가로 Kähler 형식의 모멘트 맵을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 토르스 작용 하에서 가로 Kähler 평행자류의 모멘트 맵 상은 항상 볼록인가?
• RQ3 LVMB 다양체 위의 평행자류 F_g_J가 가로 Kähler일 경우, 그 다양체는 반드시 LVM 다양체인가?
• RQ4 모멘트 맵 상의 볼록성은 관련 포인트 q(Δ)의 조합론적 성질로 특성화될 수 있는가?
• RQ5 LVMB 다양체가 가로 Kähler 평행자류를 갖는다는 것을 모멘트 맵 기하학으로 완전히 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 모멘트 맵 Φ̃: M → (g/g_J)*의 상이 볼록 다각형임은 평행자류 F_g_J가 가로 Kähler임과 동치이다.
• 모든 G-불변 가로 Kähler 형식에 대해 M 위의 모멘트 맵 Φ: M → g*가 존재하는 것은 평행자류 F_g_J가 가로 Kähler임과 동치이다.
• LVMB 다양체 X(Δ_Σ)/H 위의 평행자류 F_g_J는 포인트 q(Δ)가 다각형일 때에만 가로 Kähler이다.
• Cupit-Foutou와 Zaffran의 추측이 확인되었다: LVMB 다양체는 그 표준 평행자류 F_g_J가 가로 Käh勒일 때에만 LVM 다양체이다.
• Φ̃에 의한 M의 모멘트 맵 상은 포인트 q(Δ)의 내부 법선 다각형이며, 기하학과 조합론 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 모멘트 맵의 구성과 그 볼록성은 고전적 Atiyah-Guillemin-Sternberg 정리를, 비-Kähler 다양체 위의 가로 Kähler 평행자류로 일반화한다.