[논문 리뷰] Total dominator chromatic number of some operations on a graph

Nima Ghanbari, ‎Saeid Alikhani|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 02.

Advanced Graph Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정점/간선 삭제, 간선 수축, 이웃 간선 제거($G \odot v$)와 같은 다양한 그래프 연산 하에서 총 지배 색칠 수($\chi_d^t$)를 조사한다. 이러한 연산 하에서 $\chi_d^t$의 변화에 대해 날카운 경계를 설정하며, 정점 수축 시 최대 $\deg(v)+1$ 만큼 증가하고, 이웃 간선 제거 시 최대 $\deg(v)-1$ 만큼 감소함을 보이며, 날카운 예제를 제시한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph. A total dominator coloring of $G$ is a proper coloring of the vertices of $G$ in which each vertex of the graph is adjacent to every vertex of some color class. The total dominator chromatic number $χ_d^t(G)$ of $G$ is the minimum number of colors among all total dominator coloring of $G$. In this paper, we examine the effects on $χ_d^t(G)$ when $G$ is modified by operations on vertex and edge of $G$.

연구 동기 및 목표

• 그래프가 정점 및 간선 연산을 통해 수정될 때 총 지배 색칠 수($\chi_d^t$)의 행동을 연구하기 위해.
• 정점 삭제, 간선 삭제, 간선 수축, $G \odot v$ 연산 하에서 $\chi_d^t$의 상한 및 하한 경계를 설정하기 위해.
• 특히 정점의 차수와 연결성과 관련하여 구조적 수정에 대한 색칠 수의 변화를 이해하기 위해.
• 유도된 경계의 날카움을 입증하기 위한 날카운 예제를 제공하기 위해.

제안 방법

• 모든 정점이 어떤 다른 색 클래스의 모든 정점과 인접한 적절한 색칠인 총 지배 색칠(TDC)을 사용하여 $\chi_d^t(G)$를 정의한다. 이는 이러한 색 클래스의 최소 수이다.
• 삭제되거나 수축된 간선의 끝점들이 같은 색을 가지는지 여부에 기반한 색 클래스 분포의 경우 분석을 적용하여 경계를 도출한다.
• 수정된 그래프에 대해, 수정된 정점 또는 간선에 인접한 정점의 색을 조정하여 총 지배 조건을 유지하는 TDC를 구성한다.
• 경로, 사이클, 완전 그래프, 별 그래프에 대한 $\chi_d^t$의 기존 결과를 활용하여 경계를 검증하고 날카운 예제를 구성한다.
• 귀납법과 구조적 분해를 사용하여 $\chi_d^t(G - v)$, $\chi_d^t(G - e)$, $\chi_d^t(G / v)$, $\chi_d^t(G \odot v)$의 경계를 증명한다.
• 극한 그래프를 사용하여 경계를 검증한다: 수축의 경우 $K_{2,4}$, 수축 하한 경계의 경우 $C_5$, 이웃 간선 제거의 경우 $K_n$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결 그래프에서 정점을 삭제할 경우 총 지배 색칠 수 $\chi_d^t$는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 비브릿지 간선 $e$가 연결 그래프에서 제거될 때 $\chi_d^t(G - e)$의 날카운 상한 및 하한 경계는 무엇인가?
• RQ3 간선 수축 $G / v$ 하에서 $\chi_d^t$는 어떻게 행동하는가? 그리고 수축된 정점의 차수에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 정점 $v$의 이웃 간 모든 간선을 제거할 경우($G \odot v$) $\chi_d^t$에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $\chi_d^t(G)/\chi_d^t(G \odot v)$의 비율이 임의로 크게 될 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• 브릿지가 아닌 간선 $e$를 삭제한 경우 $G - e$에 대해 $\chi_d^t(G) - 1 \leq \chi_d^t(G - e) \leq \chi_d^t(G) + 2$이며, 두 경계 모두 날카롭다.
• 정점 삭제 $G - v$에 대해 $\chi_d^t(G - v) \leq \chi_d^t(G) + 1$이 성립하며, 하한 경계 $\chi_d^t(G - v) \geq \chi_d^t(G) - 1$ 역시 날카롭다.
• 간선 수축 $G / v$ 하에서 총 지배 색칠 수는 $\chi_d^t(G) - 2 \leq \chi_d^t(G / v) \leq \chi_d^t(G) + \deg(v) - 1$를 만족하며, 두 경계 모두 날카롭다.
• $G \odot v$ 연산(정점 $v$의 이웃 간 간선 제거)에 대해 경계는 $\chi_d^t(G) - \deg(v) + 1 \leq \chi_d^t(G \odot v) \leq \chi_d^t(G) + 1$이며, 둘 다 날카롭다.
• $\chi_d^t(G)/\chi_d^t(G \odot v)$의 비율은 $G = K_n$ 및 $G \odot v = S_n$일 때 임의로 크게 될 수 있다. 이 경우 $\chi_d^t(K_n) = n$이고 $\chi_d^t(S_n) = 2$이므로 비율은 $n/2$이다.
• 날카운 예제로는 수축의 경우 $K_{2,4}$(\chi_d^t = 2에서 \chi_d^t = 5로 변화)와 수축 하한 경계의 경우 $C_5$(\chi_d^t = 4에서 \chi_d^t = 4로 동일)를 제시하며, 경계의 날카움을 확인한다.