[논문 리뷰] Toward computing sensitivities of average quantities in turbulent flows

Nisha Chandramoorthy, Zhong-Nan Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 06.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기존의 애드조인트 방법이 실패하는 혼돈적인 난류 유동에서 통계 평균의 민감도를 계산하기 위해 스페이스-스플릿 민감도(S3) 알고리즘을 도입한다. 안정성과 불안정성 기여를 분리하고, 코프만 탄젠트 해를 사용한 에르고딕 평균을 통해, S3는 증명 가능하게 수렴하는, 계산적으로 효율적인 민감도 분석을 가능하게 하며, 저차원 혼돈 맵에서 유한차분 결과와의 밀접한 일치로 검증된다.

ABSTRACT

Chaotic dynamical systems such as turbulent flows are characterized by an exponential divergence of infinitesimal perturbations to initial conditions. Therefore, conventional adjoint/tangent sensitivity analysis methods that are successful with RANS simulations fail in the case of chaotic LES/DNS. In this work, we discuss the limitations of current approaches, including ensemble-based and shadowing-based sensitivity methods, that were proposed as alternatives to conventional sensitivity analysis. We propose a new alternative, called the space-split sensitivity (S3) algorithm, that is computationally efficient and addresses these limitations. In this work, the derivation of the S3 algorithm is presented in the special case where the system converges to a stationary distribution that can be expressed with a probability density function everywhere in phase-space. Numerical examples of low-dimensional chaotic maps are discussed where S3 computation shows good agreement with finite-difference results, indicating potential for the development of the method in more generality.

연구 동기 및 목표

• LES/DNS와 같은 혼돈적인 유동에서 통계 평균의 민감도를 계산하는 데 있어 기존의 애드조인트 및 탄젠트 방법의 실패를 해결하기 위해.
• 집단 기반 방법의 한계를 극복하기 위해, 불안정성으로 인한 분산의 유계성 부족 문제를 겪고, 샤로잉 기반 방법은 올바른 평균 정보를 포착하지 못할 수 있음을 고려하여.
• 통계적으로 정적 행동을 보이는 혼돈 동역계에서 계산적으로 효율적이고 증명 가능하게 수렴하는 민감도 분석 방법을 개발하기 위해.
• 항공음향학 및 터보기계 설계와 같은 고해상도 난류 유동 시뮬레이션에서 기울기 기반 최적화 및 불확실성 정량화를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 궤적을 따라 탄젠트 공간 분해를 사용하여 민감도를 안정성 기여와 불안정성 기여로 분리한다.
• 비혼돈 시스템과 마찬가지로 표준 탄젠트/애드조인트 방정식을 사용하여 안정성 기여를 계산한다.
• 이四十분할 및 흐름의 에르고딕 성질을 활용하여 불안정 탄젠트 해에 의존하지 않도록 불안정성 기여를 변환한다.
• 단일 궤적에 대한 에르고딕 평균으로서 불안정성 기여를 계산하기 위해 코프만 탄젠트 방정식의 해를 활용한다.
• 안정성 기여에는 유한 표본 평균만을 사용하고, 불안정성 기여는 위상공간의 에르고딕성에 의해 해석적으로 다룬다.
• 매끄러운 확률 밀도의 존재를 가정하는 단순화된 조건에서 방법을 적용한 후, 솔레노이드 및 쿠즈네츠프-플리킨 맵와 같은 SRB 유형 측도를 가진 시스템으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼돈 시스템에서 탄젠트 및 애드조인트 방정식의 악조건화 문제를 피할 수 있는 민감도 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 불안정 탄젠트 해에 의존하지 않고 불안정성 기여를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 에르고딕성 하에서 수렴하는 유한 표본 평균으로서 불안정성 기여를 표현할 수 있는가?
• RQ4 불변 측도가 비연속적(예: SRB 측도)인 시스템에서 S3 알고리즘이 정확한 민감도를 산출하는가?
• RQ5 대규모 집단이 필요 없이, 유한차분 방법과 유사한 수렴성과 정확도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 솔레노이드 맵에서 S3 알고리즘은 아틀라스 상의 100억 개 몬테카를로 표본을 사용한 유한차분 결과와 밀도 있는 일치를 보이며 민감도를 산출한다.
• 솔레노이드 맵에서 S3는 안정성 및 불안정성 기여를 모두 정확히 포착하며, $s_1$ 및 $s_2$에 대한 편미분이 정확한 민감도 패atters를 유도한다.
• 쿠즈네츠프-플리킨 맵에서 S3 민감도는 $ heta$ 및 $ ho$ 방향의 노드 기반 함수를 따라 유한차분 결과와 일치하여, 이 방법의 강건성을 검증한다.
• 매끄럽지 않은 불변 측도(SRB 유형)를 가진 시스템을 성공적으로 처리하여, 매끄러운 밀도를 초과하는 더 넓은 적용 가능성 잠재력을 보여준다.
• 집단 기반 방법의 불안정성과 높은 분산, 샤로잉 방법의 궤적 의존성 문제를 피하면서도 안정적이고 효율적인 대안을 제공한다.
• 코프만 탄젠트 해의 사용은 불안정성 기여의 해석적 처리를 가능하게 하여 고차원 유동에 대한 계산 가능성을 확보한다.