[논문 리뷰] Towards a complete classification of 1D gapped quantum phases in interacting spin systems

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 17.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 대칭 보호, 대칭 깨짐, 장거리 얽힘을 통합하여 일차원 상호작용 스핀 체계에서 간극이 있는 양자 위상의 완전한 분류를 제시한다. 대칭 보호(topological, SPT) 위상에 대한 이전 연구를 시간 역전, 반사, 그리고 현장 내 단위 대칭의 병합을 포함하도록 확장하여, 대칭 분획화, 대칭 깨짐, 장거리 얽힘은 간극이 있는 위상의 풍부한 스펙트럼을 생성하는 세 가지 주요 메커니즘임을 밝혀냈다.

ABSTRACT

Quantum phases with different orders exist with or without breaking the symmetry of the system. Recently, a classification of gapped quantum phases which do not break time reversal, parity or onsite unitary symmetry has been given for 1D spin systems in [X. Chen, Z.-C. Gu, and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 83, 035107 (2011); arXiv:1008.3745]. It was found that, such symmetry protected topological (SPT) phases are labeled by the projective representations of the symmetry group which can be viewed as a symmetry fractionalization. In this paper, we extend the classification of 1D gapped phases by considering SPT phases with combined time reversal, parity, and/or on-site unitary symmetries and also considering the possibility of symmetry breaking. In this way, we obtain a complete classification of gapped quantum phases in 1D spin systems. We find that in general, symmetry fractionalization, symmetry breaking and long range entanglement(present in 2 or higher dimensions) represent three main mechanisms to generate a very rich set of gapped quantum phases. As an application of our classification, we study the possible SPT phases in 1D fermionic systems, which can be mapped to spin systems by Jordan-Wigner transformation.

연구 동기 및 목표

• 일차원 스핀 체계에서 기존의 대칭 보호(topological, SPT) 위상 분류를 시간 역전, 반사, 그리고 현장 내 단위 대칭 등의 병합 대칭을 포함하도록 확장한다.
• 일차원 체계에서 간극이 있는 양자 위상의 분류에 자발적 대칭 깨짐의 가능성을 통합한다.
• 대칭 분획화, 대칭 깨짐, 장거리 얽힘을 세 가지 기본 메커니즘으로 식별하여 간극이 있는 위상에 대한 통합된 이해를 이루기.
• 조르단-위저 전환을 통해 스핀 체계와 페르미온 체계 모두에 적용 가능한 종합적인 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• SPT 위상에서의 대칭 분획화를 기술하기 위해 대칭군의 여부표현을 사용한다.
• 군 코homology 이론을 적용하여 시간 역전, 반사, 현장 내 단위 대칭의 병합 대칭 하에서 SPT 위상을 분류한다.
• 질서 매개변수와 기본 상태 디세너지 분석을 통해 자발적 대칭 깨짐의 분석을 위상 분류에 통합한다.
• 페르미온 체계를 스핀 체계로 매핑하기 위해 조르단-위저 전환을 활용하여 결과를 페르미온 SPT 위상으로 확장한다.
• 다양한 간극이 있는 위상들을 구분하기 위해 위상 불변량과 대칭 양자수 간의 상호작용을 고려한다.
• 일차원 체계의 맥락에서 짧은 거리 및 장거리 얽힘 위상을 구분하기 위한 체계적인 접근을 채택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 역전, 반사, 현장 내 단위 대칭의 병합 대칭은 일차원 간극이 있는 양자 위상의 분류에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 자발적 대칭 깨짐은 일차원 스핀 체계에서 서로 다른 간극이 있는 위상의 발생에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 대칭 분획화와 장거리 얽힘은 어느 정도까지 공존하며 일차원에서의 위상 분류에 기여할 수 있는가?
• RQ4 조르단-위저 전환을 통해 스핀 체계에서의 SPT 위상 분류는 어떻게 페르미온 체계로 확장될 수 있는가?
• RQ5 상호작용 스핀 사슬에서 가능한 모든 간극이 있는 위상을 구별하는 데 필요한 완전한 위상 불변량은 무엇인가?

주요 결과

• 시간 역전, 반사, 현장 내 단위 대칭의 병합 대칭을 포함함으로써 일차원 간극이 있는 양자 위상의 더 풍부하고 완전한 분류가 가능해졌다.
• 대칭 분획화, 대칭 깨짐, 장거리 얽힘은 일차원 체계에서 서로 다른 간극이 있는 위상을 생성하는 세 가지 주요 메커니즘으로 규명되었다.
• 다양한 대칭 조합 하에서 비자명한 SPT 위상과 자명한 SPT 위상을 모두 성공적으로 설명하는 분류 프레임워크가 확립되었다.
• 조르단-위저 전환의 적용을 통해 스핀 체계의 대응 위상 기반으로 일차원 페르미온 체계에서 가능한 SPT 위상을 유도할 수 있었다.
• 군 코homology에서 유도된 대칭 양자수와 위상 불변량을 활용하여 위상 간의 구분을 위한 체계적인 방법을 제공하였다.
• 이전에 간과되었던 대칭 조합과 위상 메커니즘을 포함함으로써 이전의 분류를 일반화하였다.