[논문 리뷰] Traces for fractional Sobolev spaces with variable exponents

Leandro Martin del Pezzo, Julio D. Rossi|Americanae (AECID Library)|2017. 04. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 변수 지수를 가진 분수 소볼레프 공간에 대한 추적 정리를 수립하며, $ W^{s,p(\bullet,\bullet)}(\bar{\Omega}) $에 속하는 함수들이 $ \frac{(n-1)p(x,x)}{n - s p(x,x)} > q(x) $ 조건이 $ \partial\Omega \cap \{x : n - s p(x,x) > 0\} $ 에서 성립할 경우, $ L^{q(\bullet)}(\pi\Omega) $ 에 연속적이고 컴act하게 포함됨을 증명한다. 이 결과는 기존의 고정 지수 분수 소볼레프 추적 포함관계를 변수 지수 및 분수 설정으로 일반화하며, 새로운 변수 지수 준노름과 노름 공간 프레임워크를 사용한다.

ABSTRACT

In this note we prove a trace theorem in fractional spaces with variable exponents. To be more precise, we show that if $p\colon\overlineΩ imes \overlineΩ o (1,\infty)$ and $q:\partial Ω ightarrow (1,\infty)$ are continuous functions such that \[ \frac{(n-1)p(x,x)}{n-sp(x,x)}>q(x) \qquad \mbox{in} \partial Ω\cap \{x\in\overlineΩ\colon n-sp(x,x) >0\}, \] then the inequality $$ \Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{q(\cdot)}(\partial Ω)} \leq C \left\{\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{\bar{p}(\cdot)}(Ω)}+ [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} ight\} $$ holds. Here $\bar{p}(x)=p(x,x)$ and $\lbrack f brack_{s,p(\cdot,\cdot)} $ denotes the fractional seminorm with variable exponent, that is given by \[ \lbrack f brack_{s,p(\cdot,\cdot)} := \inf \left\{λ>0\colon \int_Ω\int_Ω\frac{|f(x)-f(y)|^{p(x,y)}}{λ^{p(x,y)} |x-y|^{n+sp(x,y)}}dxdy<1 ight\} \] and $\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{q(\cdot)}(\partial Ω)}$ and $\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{\bar{p}(\cdot)}(Ω)}$ are the usual Lebesgue norms with variable exponent.

연구 동기 및 목표

• 유계이고 매끄러운 영역에서 변수 지수를 가진 분수 소볼레프 공간에 대한 추적 포함관계 정리를 수립하는 것.
• 지수 $ p $ 가 $ \overline{\Omega} \times \overline{\Omega} $ 에서 연속 함수일 때, 기존의 고전적 소볼레프 추적 포함관계를 일반화하여 경계에서 지수 $ q $ 가 변수인 경우를 다루는 것.
• 조건 $ \frac{(n-1)p(x,x)}{n - s p(x,x)} > q(x) $ 가 성립할 경우, 포함관계 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ 가 연속적이고 컴팩트함을 증명하는 것.

제안 방법

• 변수 지수 $ p(x,y) $ 를 갖는 비국소 준노름을 사용하여 변수 지수 분수 소볼레프 공간 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ 를 정의한다. 이는 $ [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} = \inf\left\{ \lambda > 0 : \iint_{\Omega \times \Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^{p(x,y)}}{\lambda^{p(x,y)} |x-y|^{n + s p(x,y)}} \, dx\,dy < 1 \right\} $ 로 주어진다.
• 변수 지수 리만스페이스 노름 $ \|f\|_{L^{\bar{p}(\cdot)}(\Omega)} $ 와 $ \|f\|_{L^{q(\cdot)}(\partial\Omega)} $ 를 도입하며, 여기서 $ \bar{p}(x) = p(x,x) $ 이다.
• 조건 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ 가 $ \partial\Omega \cap \{x : n - s \bar{p}(x) > 0\} $ 에서 성립할 경우, 추적 부등식 $ \|f\|_{L^{q(\cdot)}(\partial\Omega)} \leq C \left( \|f\|_{L^{\bar{p}(\cdot)}(\Omega)} + [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} \right) $ 를 수립한다.
• 분할 단위와 국소적으로 정수 지수 분수 소볼레프 공간으로의 근사화를 이용하여 포함관계의 컴팩턴스를 증명한다.
• 이 결과를 $ p(\cdot) $-라플라스 연산자와 노이만형 경계 조건을 포함하는 변분 문제에 적용하여, 추적 포함관계를 통해 강제성과 유일한 최소화자 존재성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변수 지수 $ p(x,y) $ 와 $ q(x) $ 가 어떤 조건을 만족할 경우 추적 연산자가 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ 를 $ L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ 로 연속적으로 매핑하는가?
• RQ2 변수 지수 설정에서 임계 추적 지수 $ p^*(x) = \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} $ 는 경계 지수 $ q(x) $ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 고전적 소볼레프 추적 포함관계 결과는 비상수 $ p(x,y) $ 를 가진 분수 및 변수 지수 소볼레프 공간으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 동일한 지수 조건 하에서 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ 에서 $ L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ 로의 추적 포함관계는 컴팩트한가?
• RQ5 이 추적 결과를 사용하여 변수 지수 및 비국소 연산자를 포함하는 경계값 문제의 해 존재성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ 가 $ \partial\Omega \cap \{x : n - s \bar{p}(x) > 0\} $ 에서 모든 $ x $ 에 대해 성립할 경우, 포함관계 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ 는 상수 $ C = C(n,s,p,q,\Omega) $ 가 $ f $ 에 관계없이 일정한 조건에서 연속적이다.
• 포함관계는 컴팩트하므로 연속성 이외의 강력한 성질을 제공하며, 변분 방법 응용에 유리하다.
• 조건 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ 는 고전적 임계 소볼레프 지수 조건을 변수 지수 및 분수 설정으로 일반화한다.
• 조금 더 완화된 조건 하에서도 결과는 유지된다: $ p^*(x) - \varepsilon > q(x) $ 를 만족하는 어떤 $ \varepsilon > 0 $ 이 존재할 경우, $ p $ 와 $ q $ 가 연속적이지 않더라도 성립한다.
• 이 추적 정리는 $ p(\cdot) $-라플라스 연산자와 노이만형 경계 항을 포함하는 비국소 변수 지수 함수에 대해 최소화자 존재성과 유일성을 증명하는 데 응용되었다.
• 함수 $ G(u) $ 의 강제성은 추적 포함관계를 통해 확보되었으며, 이는 $ \|u\|_{s,p(\cdot,\cdot)} \to \infty $ 일 때 $ G(u) \to \infty $ 가 되게 하여 변분법의 직접 방법을 적용할 수 있도록 한다.