[논문 리뷰] Tractable Reformulations of Distributionally Robust Two-stage Stochastic Programs with $\infty-$Wasserstein Distance

Weijun Xie|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 22.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 36인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 무작위 변수의 이진 변수 성질과 지지 정보를 활용하여 ∞-Wasserstein 모호성 집합을 갖는 분포로부르다 두 단계 확률적 프로그래밍(DRTSP)에 대해 처리 가능한 볼록 재구성식을 제공한다. 주요 기여는 악성 최악의 평균 후속 비용이 볼록 프로그래밍을 통해 효율적으로 계산될 수 있는 충분조건를 제시한 점으로, 이는 원래의 의사결정 공간에 자연스럽게 투영되며 추가로 강건성 페널티를 포함하는 강건하고 해석 가능한 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the optimization under uncertainty, decision-makers first select a wait-and-see policy before any realization of uncertainty and then place a here-and-now decision after the uncertainty has been observed. Two-stage stochastic programming is a popular modeling paradigm for the optimization under uncertainty that the decision-makers first specifies a probability distribution, and then seek the best decisions to jointly optimize the deterministic wait-and-see and expected here-and-now costs. In practice, such a probability distribution may not be fully available but is probably observable through an empirical dataset. Therefore, this paper studies distributionally robust two-stage stochastic program (DRTSP) which jointly optimizes the deterministic wait-and-see and worst-case expected here-and-now costs, and the probability distribution comes from a family of distributions which are centered at the empirical distribution using $\infty-$Wasserstein metric. There have been successful developments on deriving tractable approximations of the worst-case expected here-and-now cost in DRTSP. Unfortunately, limited results on exact tractable reformulations of DRTSP. This paper fills this gap by providing sufficient conditions under which the worst-case expected here-and-now cost in DRTSP can be efficiently computed via a tractable convex program. By exploring the properties of binary variables, the developed reformulation techniques are extended to DRTSP with binary random parameters. The main tractable reformulations in this paper are projected into the original decision space and thus can be interpreted as conventional two-stage stochastic programs under discrete support with extra penalty terms enforcing the robustness. These tractable results are further demonstrated to be sharp through complexity analysis.

연구 동기 및 목표

• ∞-Wasserstein 모호성 집합 하에서 분포로부르다 두 단계 확률적 프로그래밍(DRTSP)에 대한 정확한 처리 가능한 재구성식의 부족을 해결하기 위해.
• DRTSP에서 최악의 평균 기다림-보상 비용이 볼록 최적화를 통해 효율적으로 계산될 수 있는 충분조건를 개발하기 위해.
• 이들의 구조적 성질을 활용하여 DRTSP에 대한 재구성 프레임워크를 이진 무작위 변수를 갖는 경우로 확장하기 위해.
• 재구성된 강건한 해를 원래의 의사결정 공간에 투영하여 명확한 강건성 페널티를 포함하는 해석 가능한 모델을 도출하기 위해.
• 복잡도 분석과 수치 실험을 통해 재구성식의 날카움과 실용적 효과를 입증하기 위해.

제안 방법

• 첫 번째 단계에서 즉각적인 결정을 선택하고, 두 번째 단계에서 경험 분포를 중심으로 한 ∞-Wasserstein 모호성 집합 내에서 최악의 평균 후속 비용을 최소화하는 이중 최적화 문제로 DRTSP를 수립한다.
• Wasserstein 모호성 집합의 이중성을 활용하여 ∞-Wasserstein 거리의 이중 표현을 사용해 최악의 기대값을 볼록 최적화 문제로 재구성한다.
• 이진 무작위 변수의 구조를 활용하여 처리 가능하고 해석 가능한 특수한 재구성식을 유도한다.
• 결과로 도출된 강건한 재구성식을 원래의 의사결정 공간에 투영하여, 추가적인 페널티 항을 포함한 전통적인 두 단계 확률적 프로그래밍으로 변환한다.
• 모호성 집합을 정의하기 위해 경험 샘플을 사용하고, 시설 배치 문제에 재구성식을 적용하여 성능을 검증한다.
• 복잡도 분석을 통해 제안된 재구성식이 정확성을 잃지 않도록 더 이상 단순화될 수 없음을 보여주며, 날카운 성질을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ∞-Wasserstein 모호성 집합을 갖는 DRTSP에서 최악의 평균 후속 비용이 정확히 처리 가능한 볼록 프로그래밍으로 재구성될 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ2 이진 무작위 변수의 구조는 연속적인 불확실성 외로 확장된 처리 가능한 재구성식을 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ3 강건한 재구성식은 원래의 의사결정 공간으로 투영될 수 있는가? 이를 통해 명확한 강건성 페널티를 포함하는 해석 가능한 모델을 도출할 수 있는가?
• RQ4 무작위 변수의 지지 정보를 포함할 경우, 표준 SAA 또는 명목 모델 대비 솔루션의 보수성과 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 재구성식의 계산 복잡도는 무엇이며, 처리 가능성과 해 품질 측면에서 기존 방법과 비교해 볼 때 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 재구성식은 충분한 조건 하에서 최악의 평균 후속 비용을 처리 가능한 볼록 프로그래밍을 통해 정확히 계산할 수 있게 하여, DRTSP에 대한 정확한 처리 가능한 재구성식에 대한 문헌의 빈도를 메운다.
• 이진 무작위 변수의 경우, 이들의 이산적이고 유계된 구조를 활용하여 재구성 기법을 확장함으로써 처리 가능성과 해석 가능성을 유지한다.
• 재구성된 모델은 원래의 의사결정 공간에 투영되며, 강건성을 강제하는 페널티 항을 도입하여 전통적인 두 단계 확률적 프로그래밍에 추가된 강건성의 형태로 해석 가능한 모델을 도출한다.
• 수치 결과는 Wasserstein 반경 θ를 증가시킬수록 총 비용이 증가하지만, 동일한 θ에 대해 제안된 재구성식인 모델 (30)이 표준 DRTSP 모델 (12)보다 항상 유의미하게 낮은 비용을 기록함으로써 보수성이 감소함을 시사한다.
• 장애 확률 p가 0.01에서 0.05로 증가할 경우, θ > 0일 때 모델 (12)는 타당해를 찾지 못하지만, 모델 (30)은 여전히 타당해를 유지하며 최적의 시설 위치를 식별함으로써 훨씬 뛰어난 강건성을 보여준다.
• 최적의 Wasserstein 반경은 SAA 모델의 95% 신뢰구간을 초과하는 총 비용을 유도하는 가장 작은 θ로 선택될 수 있으며, p = 0.01일 경우 θ = 0.02, p = 0.05일 경우 θ = 0.06로 설정되며, 이는 데이터 기반의 선택 전략을 시사한다.