[논문 리뷰] Transcendental Morse Inequality and Generalized Okounkov Bodies

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 28.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 켈러 다양체 위의 의사효과적 (1,1)-류에 대해 양의 코어언트를 사용하여 일반화된 오쿠노프 본체를 도입하며, 고전적 오쿠노프 본체 구성법을 대수적 류를 초월해 초대수적 코homology 류로 확장한다. 이는 켈러 표면에서 큰 류에 대한 부피 함수의 미분 가능성과 함께, 큰 류의 부피가 그 일반화된 오쿠노프 본체의 유클리드 부피와 일치함을 증명하여 라자르스펠트가 표면에 대해 제기한 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The main goal of this article is to construct "arithmetic Okounkov bodies" for an arbitrary pseudo-effective (1,1)-class $α$ on a Kähler manifold. Firstly, using Boucksom's divisorial Zariski decompositions for pseudo-effective (1,1)-classes on compact Kähler manifolds, we prove the differentiability of volumes of big classes for Kähler manifolds on which modified nef cones and nef cones coincide; this includes Kähler surfaces. We then apply our differentiability results to prove Demailly's transcendental Morse inequality for these particular classes of Kähler manifolds. In the second part, we construct the convex body $Δ(α)$ for any big class $α$ with respect to a fixed flag by using positive currents, and prove that this newly defined convex body coincides with the Okounkov body when $α\in { m NS}\_{\mathbb{R}}(X)$; such convex sets $Δ(α)$ will be called generalized Okounkov bodies. As an application we prove that any rational point in the interior of Okounkov bodies is "valuative". Next we give a complete characterisation of generalized Okounkov bodies on surfaces, and show that the generalized Okounkov bodies behave very similarly to original Okounkov bodies. By the differentiability formula, we can relate the standard Euclidean volume of $Δ(α)$ in $\mathbb{R}^2$ to the volume of a big class $α$, as defined by Boucksom; this solves a problem raised by Lazarsfeld in the case of surfaces. Finally, we study the behavior of the generalized Okounkov bodies on the boundary of the big cone, which are characterized by numerical dimension.

연구 동기 및 목표

• 콤��� 켈러 다양체 위의 임의의 의사효과적 (1,1)-류에 대해 산술 오쿠노프 본체를 구성하기 위해.
• 고전적 오쿠노프 본체 구성법을 대수적 류를 초월해 초대수적 코homology 류로 확장하기 위해.
• 수정된 네프와 네프 콩이 일치하는 켈러 다양체에서 큰 류에 대한 부피 함수의 미분 가능성 증명하기 위해.
• 표면에서 큰 류의 부피와 그 일반화된 오쿠노프 본체의 유클리드 부피 사이의 정확한 대응 관계 설정하기 위해.
• 표면에서 일반화된 오쿠노프 본체를 특성화하고, 고전적 오쿠노프 본체와 유사하게 행동함을 보여주기 위해(다각형적 구조 및 정점 수의 유한성 포함)

제안 방법

• 콤파クト 켈러 다양체 위의 의사효과적 (1,1)-류에 대해 부크스모의 분할자 자리스키 분해를 사용하여 큰 류의 구조 분석하기 위해.
• 시우 분해와 레링 수를 적용하여 양의 코어언트를 사용해 가치화 유사 함수 정의하기 위해.
• 클로저드 볼륨의 유클리드 부피로 정의된 일반화된 오쿠노프 본체 Δ(α)를 α의 배수의 단면의 정규화된 가치화 벡터들의 닫힌 볼록 hull로 구성하기 위해.
• 켈러 코어언트를 사용한 편향 기법을 적용하여 ε→0일 때 Δ(α+εω)의 극한을 분석하고 Δ(α)를 정의하기 위해.
• 다른 공식을 사용하여 표준 유클리드 부피 Δ(α)와 부크스모가 정의한 큰 류 α의 부피 사이의 관계를 설정하기 위해.
• 표면에서 Δ(α)의 형태를 수치적 차원에 따라 결정되는 볼록 및 오목한 조각별 선형 함수들의 그래프로 둘러싸인 영역으로 특성화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 켈러 다양체 위의 임의의 의사효과적 (1,1)-류에 대해 양의 코어언트를 사용하여 일반화된 오쿠노프 본체를 구성할 수 있는가?
• RQ2 켈러 다양체에서 큰 류의 부피는 그 일반화된 오쿠노프 본체의 유클리드 부피와 같은가?
• RQ3 일반화된 오쿠노프 본체는 큰 콩의 경계에서 어떻게 행동하는가? 특히 수치적 차원과의 관계에서 어떻게 되는가?
• RQ4 내부의 모든 유리점은 오쿠노프 본체의 내부에 가치화 가능한가? 이는 초대수적 류로 확장될 수 있는가?
• RQ5 콤팩트 켈러 표면에서 일반화된 오쿠노프 본체의 정확한 기하학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 켈러 다양체에서 큰 류 α의 부피는 그 일반화된 오쿠노프 본체 Δ(α)의 표준 유클리드 부피와 일치하며, 이는 표면의 경우 라자르스펠트가 제기한 문제를 해결한다.
• 콤팩트 켈러 표면에서 임의의 큰 류 α에 대해 Δ(α)는 최대 2ρ(X)+2개의 정점을 가진 유한한 다각형이다. 여기서 ρ(X)는 피카르 수이다.
• 큰 류 α가 켈러 표면에 있을 경우 Δ(α)는 볼록 함수 f와 오목 함수 g의 그래프로 둘러싸지며, f ≤ g를 만족한다.
• 큰 선다발 L에 대해 오쿠노프 본체 Δ(L)의 내부에 있는 임의의 유리점은 가치화 가능하며, 이는 케바흐와 코반스키의 결과를 초대수적 설정으로 확장한 것이다.
• 표면에서 수치적 차원이 0 또는 1인 류에 대해 일반화된 오쿠노프 본체 Δ(α)는 각각 한 점 또는 선분이 되며, 자리스키 분해의 음의 부분을 곡선에 제한함으로써 결정된다.
• modified nef와 nef 콩이 일치하는 켈러 다양체에서 큰 류에 대한 부피 함수의 미분 가능성은 성립하며, 이는 모든 켈러 표면에 대해 성립하며, 이는 데메를리의 초대수적 모어스 부등식을 이 설정에서 증명할 수 있게 한다.