[논문 리뷰] Transformation Semigroups with the Deformed Multiplication

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|2005. 08. 20.

semigroups and automata theory참고 문헌 1인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한한 역대칭 대칭 반군 𝒮ₙ, 유한한 대칭 반군 𝒯ₙ, 그리고 비사이클릭 반군 ℬ에 Ljapin의 변형 곱셈 x *ₐ y = xay를 적용하여 형성된 쌍별로 비동형인 반군을 분류한다. 핵심 결과는 𝒮ₙ의 경우 동형 유형이 랭크에 의해 완전히 결정되며, 𝒯ₙ의 경우 변환 유형에 의해 결정되고, ℬ의 경우 요소 매개변수에 의해 결정되며, 특히 ℬ에서 변형에 의해 무한히 많은 비동형 반군이 유도된다는 것이다.

ABSTRACT

Pairwise non-isomorphic semigroups obtained from the finite inverse symmetric semigroup $\mathcal{IS}_n ,$ finite symmetric semigroup $\mathcal{T}_n$ and bicyclic semigroup by the deformed multiplication proposed by Ljapin are classified.

연구 동기 및 목표

• Ljapin의 변형 곱셈 x *ₐ y = xay를 적용하여 형성된 유한한 역대칭 대칭 반군 𝒮ₙ에 대해 모든 쌍별로 비동형인 반군을 분류하는 것.
• 동일한 변형 곱셈을 사용하여 유한한 대칭 반군 𝒯ₙ에 대해서도 분류를 확장하는 것.
• 비사이클릭 반군 ℬ에 대해 변형 곱셈을 적용한 결과 유도되는 반군을 분석하고 분류하며, 동형 및 반동형 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 𝒮ₙ에 대해 (𝒮ₙ, *ₐ)의 등급원 수가 2^rank(α)임을 보여주며, 이는 ran(α)의 부분집합과 일대일 대응을 이룬다.
• 𝒮ₙ에 대해 rank(α) = rank(β)일 때, β = ταπ를 만족하는 치환 τ와 π를 이용해 (𝒮ₙ, *ₐ)와 (𝒮ₙ, *ᵦ) 사이에 명시적인 동형사상 f(ξ) = π⁻¹ξτ⁻¹을 구성한다.
• 𝒯ₙ에 대해 (𝒯ₙ, *ₐ)의 동형 유형이 변환 a의 유형에 의해 유일하게 결정됨을 보여주며, 이는 preimage 크기의 다중집합 (α₁, ..., αₙ)으로 정의된다.
• ℬ에 대해 등급원의 구조를 εᵢ = b^{k+i}a^{m+i}를 통해 분석하여, 이들이 선형 순서를 이룬다는 것을 보이며, ε₀이 최대임을 밝힌다.
• Pᵢ^α ∩ Qᵢ^α의 기수를 (k+i)(m+i)로 계산하며, 이는 α = b^m a^k의 매개변수 k와 m를 유일하게 결정한다.
• 반동형에 대해, φ(b^x a^y) = b^y a^x의 역전 지ap이 (ℬ, *ₐ)와 (ℬ, *ᵦ) 사이에 반동형을 유도함을 보이며, 이는 α와 β가 서로 역원일 때에만 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 반군 (𝒮ₙ, *ₐ)과 (𝒮ₙ, *ᵦ)가 변형 곱셈 하에서 언제 동형이 되는가?
• RQ2 (𝒯ₙ, *ₐ)에서 동형을 결정하는 변환 유형 불변량은 무엇인가?
• RQ3 두 변형 비사이클릭 반군 (ℬ, *ₐ)과 (ℬ, *ᵦ)가 언제 동형 또는 반동형이 되는가?
• RQ4 ℬ 내의 α = b^m a^k의 매개변수는 변형 반군 (ℬ, *ₐ)의 구조로부터 재구성할 수 있는가?
• RQ5 변형 곱셈이 이러한 반군들의 등급원 구조와 Green의 관계에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• (𝒮ₙ, *ₐ)와 (𝒮ₙ, *ᵦ)는 rank(α) = rank(β)일 때에만 동형이며, 이에 따라 𝒮ₙ에서 정확히 (n+1)개의 쌍별로 비동형인 반군이 유도된다.
• 𝒯ₙ의 경우, (𝒯ₙ, *ₐ)와 (𝒯ₙ, *ᵦ)는 a와 b가 같은 변환 유형을 가질 때에만 동형이며, 이는 preimage 크기의 수를 세는 다중집합으로 정의된다.
• 비사이클릭 반군 ℬ에서 변형 반군 (ℬ, *ₐ)은 α = b^m a^k에서 (m,k)의 서로 다른 쌍마다 무한히 많은 비동형 실현이 존재한다.
• |Pᵢ^α ∩ Qᵢ^α| = (k+i)(m+i)는 α = b^m a^k의 매개변수 k와 m를 유일하게 결정하며, 이는 동형이 성립하면 α = β임을 증명한다.
• (ℬ, *ₐ)는 β가 ℬ 내에서 α의 역원일 때에만 (ℬ, *ᵦ)와 반동형이며, 즉 α = b^m a^k이면 β = b^k a^m여야 한다.
• (ℬ, *ₐ)의 등급원 집합은 εᵢ ≤ εⱼ iff i ≥ j에 의해 선형 순서를 이룬다. 이때 ε₀ = b^k a^m는 유일한 최대 등급원이다.