[논문 리뷰] Transformations birationnelles de petit degré

Dominique Cerveau, Julie Déserti|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 평면에서 소수의 차수를 가진 비라쇼널 사상—특히 2차 사상—을 조사하며, 일반적인 2차 사상이 자유군을 생성한다는 것, 전체 비라쇼널 군이 완전하다는 것, 그리고 예외적 곡선 구성에 의한 3차 사상의 분류와 같은 대수적 및 동역학적 성질을 규명한다. 또한 공轭 불변량, 불변 대상, 궤도 및 줄리아 유사 집합의 시각화에 대해서도 다룬다.

ABSTRACT

Since the end of the XIXth century, we know that each birational map of the complex projective plane is the product of a finite number of quadratic birational maps of the projective plane; this motivates our work which essentially deals with these quadratic maps. We establish algebraic properties such as the classification of one parameter groups of quadratic birational maps or the smoothness of the set of quadratic birational maps in the set of rational maps. We prove that a finite number of generic quadratic birational maps generates a free group. We show that if f is a quadratic birational map or an automorphism of the projective plane, the normal subgroup generated by f is the full group of birational maps of the projective plane, which implies that this group is perfect. We study some dynamical properties: following an idea of Guillot, we translate some invariants for foliations in our context, in particular we obtain that if two generic quadratic birational maps are birationally conjugated, then they are conjugated by an automorphism of the projective plane. We are also interested in the presence of "invariant objects": curves, foliations, fibrations. Then follows a more experimental part: we draw orbits of quadratic birational maps with real coefficients and sets analogous to Julia sets for polynomials of one variable. We study birational maps of degree 3 and, by considering the different possible configurations of the exceptional curves, we give the "classification" of these maps. We can deduce from this that the set of the birational maps of degree 3 exactly is irreducible, in fact rationally connected.

연구 동기 및 목표

• 복소 프로젝티브 평면에서 소수의 차수, 특히 2차 사상의 대수적 및 동역학적 구조를 이해하는 것.
• 예외적 곡선의 구성에 기반하여 3차 비라쇼널 사상을 분류하는 것.
• 2차 사상의 공轭에서 자동형사상의 역할과 전체 비라쇼널 군 생성에 대한 연구.
• 비라쇼널 사상 하에서 곡선, 분할, 분할 구조와 같은 불변 대상의 존재를 탐색하는 것.
• 실계수 2차 사상에 대해 궤도와 줄리아 유사 집합을 통한 동역학적 행동의 시각화

제안 방법

• 대수기하학 기법을 사용하여 1매개변수 2차 비라쇼널 사상의 분류.
• 합리적 사상 공간 내에서 2차 비라쇼널 사상의 매개변수 공간의 미분 가능성과 기약성 연구.
• 유한 개의 일반적인 2차 사상이 자유군을 생성함을 증명하기 위한 군론적 방법의 사용.
• Guillot의 작업에 영감을 얻은 분할 불변량을 적용하여, 일반적인 2차 비라쇼널 사상의 비라쇼널 공轭이 프로젝티브 자동형사상에 의한 공轭임을 증명.
• 기저점과 예외적 곡선의 구성에 기반한 3차 비라쇼널 사상의 기하학적 분석.
• 실수 계수 2차 사상에 대한 궤도와 줄리아 유사 집합의 수치적 및 실험적 시각화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 P²에서 일반적인 2차 비라쇼널 사상이 생성하는 군의 대수적 구조는 무엇이며, 이것이 자유군임을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ2 두 일반적인 2차 비라쇼널 사상이 P²의 자동형사상에 의해 공轭이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 예외적 곡선의 구성에 기반하여 3차 비라쇼널 사상을 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ4 소수의 차수를 가진 비라쇼널 사상의 동역학에서 불변 곡선, 분할 또는 분할 구조의 역할은 무엇인가?
• RQ5 분할 이론에서 유도된 동역학 불변량이 프로젝티브 평면의 비라쇼널 사상에 얼마나 적용 가능한가?

주요 결과

• 유한 개의 일반적인 2차 비라쇼널 사상은 복합에 의해 자유군을 생성한다.
• P²의 임의의 2차 비라쇼널 사상 또는 자동형사상에 의해 생성되는 정규부분군은 전체 비라쇼널 사상 군과 일치하므로, 군은 완전하다.
• 모든 3차 비라쇼널 사상의 집합은 기약적이며 사실상 유리 연결이다.
• 두 일반적인 2차 비라쇼널 사상이 비라쇼널적으로 공轭이면, 그들은 P²의 자동형사상에 의해 공轭이다.
• 2차 비라쇼널 사상의 공간은 합리적 사상 공간의 부분다양체로서 미분 가능하다.
• 궤도와 줄리아 유사 집합의 시각화는 실계수 2차 사상에 대해 복잡한 동역학적 구조를 드러낸다.