[논문 리뷰] Transformations Generating Negative [Beta]-expansions

Karma Dajani, Charlene Kalle|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 β > 1에 대해 {0,1}의 숫자를 갖는 음수 기수 전개를 생성하는 동역학계의 가족을 제안하며, 생성된 숫자 수열을 특성화하고 불변 측도의 지지역을 분석한다. 이 가족 내의 결정적 변환은 음수 기수 의미에서의 귀납적 전개를 생성할 수 없음을 증명하지만, 무작위 알고리즘이 그러한 전개를 정의할 수 있으며, β < (1+√5)/2일 경우 유일한 전개의 집합은 끝점 외에는 르베그 측도가 0이다.

ABSTRACT

We introduce a family of dynamical systems that generate negative $\\beta$-expansions and study the support of the invariant measure which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure. We give a characterization of the set of digit sequences that is produced by a typical member of this family of transformations. We discuss the meaning of greedy expansions in the negative sense, and show that there is no transformation in the introduced family of dynamical systems that generates negative greedy. However, if one looks at random algorithms, then it is possible to define a greedy expansion in base $-\\beta$.

연구 동기 및 목표

• β > 1에 대해 {0,1}의 숫자를 갖는 음수 기수 전개를 생성하는 동역학계의 가족을 개발하는 것.
• 이 가족 내 일반적인 변환에 의해 생성되는 숫자 수열의 집합을 특성화하는 것.
• 음수 기수 의미에서의 귀납적 전개가 결정적 변환에 의해 생성될 수 있는지 조사하는 것.
• 제안된 프레임워크 하에서 유일한 음수 기수 전개의 존재성과 구조를 탐색하는 것.
• 결과를 무작위 알고리즘으로 확장하고, 불변 측도의 지지역과 측도를 분석하는 것.

제안 방법

• j ∈ {0,1}에 대해 T_j(x) = -βx - j로 정의된 조각별 선형 맵의 가족을 정의하며, [M⁻, M⁺] = [-β/(β²-1), 1/(β²-1)] 내의 구간에서 작용한다.
• [M⁻, M⁺]을 세 영역 U₀, S, U₁으로 분할한다. U₀와 U₁은 각각 T₀와 T₁에 의해 맵핑되는 구간이며, S는 스위치 영역이다.
• 현재 반복값이 U₀, U₁, 또는 S에 속해 있는지에 따라 무작위로 숫자를 선택하는 무작위 변환을 구성하며, 반복 단계의 기수성에 따라 규칙이 번갈아 적용된다.
• 반복 함수 시스템과 실린더 집합을 사용하여 중첩된 집합 Ωₙ을 통해 숫자 수열의 집합을 정의하며, 거의 확실히 수렴하는 단일 수열을 확보한다.
• 비교적 연속적인 불변 측도(acyclic invariant measure) 이론과 에르고딕 이론의 결과를 적용하여 불변 측도의 지지역과 측도를 분석한다.
• [LY73]과 [LY78]의 알려진 결과를 활용하여 변환에 대해 존재성과 유한한 수의 에르고딕 성분을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 가족 내 결정적 동역학계가 음수 기수 의미에서의 귀납적 전개를 생성할 수 있는가?
• RQ2 이 변환에 대해 르베그 측도에 대해 절대 연속적인 불변 측도의 구조와 지지역은 무엇인가?
• RQ3 이 가족의 일반적인 구성원들이 생성하는 숫자 수열의 집합은 무엇인가?
• RQ4 무작위 알고리즘을 통해 음수 기수 -β에서의 귀납적 전개를 정의할 수 있으며, 결정적 구성과 비교해 볼 때 어떻게 다른가?
• RQ5 M⁻에서 M⁺까지의 점들 중에서 {0,1}의 숫자를 갖는 유일한 음수 기수 전개를 가지는 점은 무엇이며, 그 집합의 측도는 얼마인가?

주요 결과

• 제안된 결정적 맵의 가족 내 어떤 변환도 음수 기수 의미에서의 귀납적 β-전개를 생성하지 못한다. 귀납적 선택이 전체 구간에서 일관되게 적용될 수 없기 때문이다.
• 일반적인 가족 내 변환에 의해 생성되는 숫자 수열의 집합은 역동성과 영역 소속성에 의해 정의된 중첩된 실린더 집합을 통해 특성화된다.
• β < (1+√5)/2일 경우, 유일한 음수 기수 전개를 가지는 유일한 점은 끝점 M⁻와 M⁺이며, 이러한 점들의 집합은 르베그 측도가 0이다.
• 각 변환에 대한 불변 측도는 르베그 측도에 대해 절대 연속적이며, 각 불연속점 주변에 포함된 구간을 지지역으로 포함한다.
• 무작위 알고리즘을 통해 기수 -β에서의 귀납적 전개를 정의할 수 있으며, 디지트 선택은 현재 상태와 단계의 기수성에 따라 번갈아 적용되며, 거의 확실히 귀납적 수열로 수렴한다.
• acim의 지지역은 최소한 내부에 하나의 불연속점이 포함된 전방으로 불변인 집합이며, 두 숫자 경우에 대해 에르고딕 성분의 수는 최대 두 개인다.