[논문 리뷰] Transformations of infinitely divisible distributions via improper stochastic integrals

Ken‐iti Sato|ArXiv.org|2007. 07. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 $X^{(\mu)}$가 동질적이고 독립적으로 산산이 흩어진 랜덤 측도이며 $\mu$가 무한히 나누어지는 분포일 때, 형태 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$의 부적절한 스토하스틱 적분을 도입하고 분석한다. 세 가지 수정된 변환—보정, 본질적, 대칭화—을 정의하고, 레비–힌친 트리플렛을 통해 그 정의역을 특성화하며, 이러한 정의역이 크거나 작은지에 대한 필요 및 충분 조건을 설정한다. 주요 기여는 $\Psi_f$가 레비 측도 위에 작용하는 변환을 결정하는 $\tau$-측도의 특성화로, 기존의 옵시론(upsilon) 변환에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $X^{(μ)}(ds)$ be an $\mathbb{R}^d$-valued homogeneous independently scattered random measure over $\mathbb{R}$ having $μ$ as the distribution of $X^{(μ)}((t,t+1])$. Let $f(s)$ be a nonrandom measurable function on an open interval $(a,b)$ where $-\infty\leqslant a<b></b>

연구 동기 및 목표

• 반경이 $[0,\infty)$인 반직선을 초월하여 열린 구간 $(a,b)$에서 $-\infty \leq a < b \leq \infty$로 부적절한 스토하스틱 적분 이론을 확장하는 것.
• 무한히 나누어지는 분포에 대해 세 가지 수정된 변환—보정, 본질적, 대칭화—을 정의하고 그 분석을 수행하는 것.
• 레비–힌친 트리플렛과 절대 정의 가능성에 기반하여 이러한 변환의 정의역을 특성화하는 것.
• $f$의 적분 함수에 대한 $\tau$-측도를 도입하고, 이가 레비 측도 위에 유도된 변환을 완전히 특성화하는 조건을 규명하는 것.
• 기존의 옵시론 및 일반화된 옵시론 변환 결과를 $\tau$-측도 프레임워크와 연결함으로써 일반화하는 것.

제안 방법

• 부적절한 적분 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$는 $p \downarrow a$ 및 $q \uparrow b$일 때 $\int_p^q f(s) X^{(\mu)}(ds)$의 확률적 수렴으로서 정의된다.
• 세 가지 수정된 적분이 도입된다: 중심화된 보정, 특정한 극한 조건을 갖는 본질적, 극한의 대칭화를 통한 대칭화.
• 각 변환에 대해 결과 분포의 레비–힌친 트리플렛이 유도되며, 이는 정의역 특성화를 가능하게 한다.
• 부적절한 적분이 명확하게 정의되는 분포를 식별하기 위해 절대 정의 가능성의 개념이 도입된다.
• $f$의 $\tau$-측도가 정의되고, 조건 $\int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} (|ux|^2 \land 1) \, \nu(dx) < \infty$를 통해 레비 측도 위의 변환 $\Psi_f$ 를 표현하는 데 사용된다.
• 적분 함수 $f$의 지표 및 제곱 또는 절대값의 적분 가능성 조건을 통해 $\Psi_f$의 정의역에 대한 등가 조건이 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한히 나누어지는 분포 $\mu \in ID(\mathbb{R}^d)$에 대해 부적절한 스토하스틱 적분 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$가 절대적으로 정의 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 본질적 또는 대칭화된 변환 $\Phi_{f,\text{es}}$ 또는 $\Phi_{f,\text{sym}}$의 정의역이 가능한 한 넓을 조건은 무엇인가?
• RQ3 $f$의 $\tau$-측도가 레비 측도 위의 변환 $\Psi_f$ 를 어떻게 결정하는가?
• RQ4 $f$에 대한 어떤 조건이 $\Psi_f$ 가 순수한 비가우시안 무한히 나누어지는 분포의 레비 측도 클래스를 그 자체로 보내는가?
• RQ5 $\Psi_f$ 의 이미지가 오직 영 측도로 제한되는 조건은 언제인가?

주요 결과

• 절대적으로 정의 가능한 적분의 정의역 $\mathfrak{D}^{0}(\Phi_f)$ 는 $\mathfrak{D}^{0}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{c}}) \subset \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{es}}) = \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{sym}})$ 를 만족한다.
• 레비 측도 위의 변환 $\Psi_f$ 의 정의역 $\mathfrak{D}(\Psi_f)$ 는 $\int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} (|ux|^2 \land 1) \, \nu(dx) < \infty$ 를 통해 특성화된다.
• $\Psi_f$ 는 레비 측도 $\nu$ 를 $\Psi_f(\nu)$ 로 보낸다. 이는 Borel 집합 $B \subset \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 에 대해 $\Psi_f(\nu)(B) = \int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} 1_B(ux) \, \nu(dx)$ 로 표현된다.
• $\mathfrak{D}(\Psi_f)$ 가 모든 $\mathrm{Lvm}(ID(\mathbb{R}^d))$ 를 포함하는 것은 $\int_a^b 1_{\{f(s) \neq 0\}} ds < \infty$ 이고 $\int_a^b f(s)^2 ds < \infty$ 일 때에만 성립한다.
• $\mathfrak{D}(\Psi_f)$ 가 자명하다(오직 영 측도만 포함)지는 $\int_a^b (f(s)^2 \land 1) ds = \infty$ 일 때에만 성립한다.
• 적절한 쿠션 $K \subset \mathbb{R}^d$ 에 대해 $\mathrm{Lvm}(ID(K)) \subset \mathfrak{D}(\Psi_f)$ 가 성립하는 것은 $f \geq 0$ 이면 $\int_a^b 1_{\{f(s) \neq 0\}} ds < \infty$ 이고 $\int_a^b |f(s)| ds < \infty$ 일 때에만 성립한다.