[논문 리뷰] Transformations preserving the norm of means between positive cones of general and commutative $C^*$-algebras

Yunbai Dong, Lei Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단위 $C^*$-대수의 양의 원소들 사이에서 산술, 기하, 조화 평균의 노름을 유지하는 전사 변환은 그 대수 전체로 조르단 $*$-동형사상으로 확장된다는 것을 입증한다. 교환 가능 경우에서는, $C_0(X)$와 $C_0(Y)$의 양의 원소들 사이에서 어떤 평균의 노름을 유지하는 맵이 존재할 경우, 도메인과 상이가 충분히 많은 컴팩트 $G_{\delta}$ 집합에서 피크 함수를 가지면, 그 맵은 대수 $*$-동형사로 확장된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a (nonlinear) transformation $Φ$ of invertible positive elements in $C^*$-algebras which preserves the norm of any of the three fundamental means of positive elements; namely, $\|Φ(A)\mm Φ(B)\| = \|A\mm B\|$, where $\mm$ stands for the arithmetic mean $A abla B=(A+B)/2$, the geometric mean $A\#B=A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}$, or the harmonic mean $A!B=2(A^{-1} + B^{-1})^{-1}$. Assuming that $Φ$ is surjective and preserves either the norm of the arithmetic mean or the norm of the geometric mean, we show that $Φ$ extends to a Jordan $*$-isomorphism between the underlying full algebras. If $Φ$ is surjective and preserves the norm of the harmonic mean, then we obtain the same conclusion in the special cases where the underlying algebras are $AW^*$-algebras or commutative $C^*$-algebras. In the commutative case, for a transformation $T: F(\mathrm{X})\subset C_0(\mathrm{X})_+ ightarrow C_0(\mathrm{Y})_+$, we can relax the surjectivity assumption and show that $T$ is a generalized composition operator if $T$ preserves the norm of the (arithmetic, geometric, harmonic, or in general any power) mean of any finite collection of positive functions, provided that the domain $F(\mathrm{X})$ contains sufficiently many elements to peak on compact $G_δ$ sets. When the image $T(F(\mathrm{X}))$ also contains sufficiently many elements to peak on compact $G_δ$ sets, $T$ extends to an algebra $*$-isomorphism between the underlying full function algebras.

연구 동기 및 목표

• 양의 원소들 사이의 노름을 유지하는 맵에 관한 Tingley 유형 문제를 해결하기 위해 산술, 기하, 조화 평균의 노름을 유지하는 변환을 특성화한다.
• 고전적인 Mazur-Ulam 정리를 산술, 기하, 조화 평균에 대한 노름-덧셈성 맵을 연구함으로써 양의 원소들로의 확장한다.
• 교환 가능한 $C^*$-대수의 양의 원소들 사이에서 이러한 노름 유지 맵이 전체 대수 $*$-동형사로 확장되는 조건을 설정한다.
• 비가환 및 가환 $C^*$-대수에서 평균의 노름을 유지하는 변환을 특성화하기 위한 일반적 프레임워크를 제공한다. 피크 집합 조건을 사용한다.

제안 방법

• 산술, 기하, 조화 평균의 노름을 유지하는 $C^*$-대수의 가역 양의 원소들 사이의 변환 $\Phi$를 정의하고 분석한다: $\|\Phi(A)\mathfrak{m}\Phi(B)\| = \|A\mathfrak{m}B\|$.
• Kubo-Ando 평균의 구조—산술 $A\nabla B = (A+B)/2$, 기하 $A\#B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}$, 조화 $A!B = 2(A^{-1}+B^{-1})^{-1}$—를 사용하여 맵를 특성화한다.
• 산술 또는 기하 평균에 대해 전사 노름 유지 맵이 전체 $C^*$-대수 사이에서 조르단 $*$-동형사로 확장됨을 증명한다.
• 조화 평균의 경우, 추가 조건이 있을 때 동일한 결론을 확립한다: $AW^*$-대수 또는 교환 가능한 $C^*$-대수.
• 교환 가능한 경우, 피크 집합 조건을 사용한다: 도메인 $F(X)$가 컴팩트 $G_{\delta}$ 집합에서 피크하는 함수를 충분히 포함하면, 노름 유지 맵은 $*$-동형사로 확장된다.
• 모든 $p>0$에 대해 $f \mapsto (Tf^{1/p})^p$ 및 $p<0$에 대해 $f \mapsto (Tf^{-1/p})^{-p}$ 변환을 적용하여 거듭제곱 평균을 산술 또는 조화 평균 유지로 환원한다. 이는 정리 3.9와 3.26를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술 평균의 노름을 유지하는 전사 맵이 단위 $C^*$-대수의 양의 원소들 사이에서 조르단 $*$-동형사로 확장되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 단위 $C^*$-대수의 양의 정의행렬들 사이에서 기하 평균의 노름을 유지하는 맵은 조르단 $*$-동형사로 확장될 수 있는가?
• RQ3 조화 평균의 노름을 유지하는 맵이 $AW^*$-대수 또는 교환 가능한 $C^*$-대수의 양의 원소들 사이에서 조르단 $*$-동형사로 확장되는가?
• RQ4 교환 가능한 설정에서, 양의 함수 위에서의 노름 유지 맵이 $C_0(X)$와 $C_0(Y)$ 사이의 대수 $*$-동형사로 확장되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 교환 가능한 경우에, 노름 유지 평균 맵이 전체 대수 동형사로 확장되도록 보장하는 도메인과 상의 위상 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 단위 $C^*$-대수의 양의 원소들 사이에서 산술 또는 기하 평균의 노름을 유지하는 전사 맵은 전체 대수 사이에서 조르단 $*$-동형사로 확장된다.
• 조화 평균의 경우, 기반 대수가 $AW^*$-대수 또는 교환 가능한 $C^*$-대수이면 동일한 확장이 성립한다.
• 교환 가능한 경우, 맵 $T: F(X) \subset C_0(X)_+ \to C_0(Y)_+$가 어떤 유한한 평균(산술, 기하, 조화, 또는 거듭제곱 평균)의 노름을 유지하고, $F(X)$가 컴팩트 $G_{\delta}$ 집합에서 피크하는 함수를 포함하면, $T$는 일반화된 합성 연산자이다.
• 만약 $F(X)$와 $T(F(X))$가 컴팩트 $G_{\delta}$ 집합에서 충분히 많은 피크 함수를 포함하면, $T$는 $C_0(X)$와 $C_0(Y)$ 사이의 대수 $*$-동형사로 확장된다.
• 도메인과 공역에 노름이 1인 양의 함수가 존재하고 피크 집합 조건이 만족되면, $T$의 전사성은 밀도 조건에 의해 유도된다.
• 증명은 도메인 내의 코시 수열이 극한에서 엄밀히 양의 함수로 수렴함을 보여, 그로 인해 상이가 밀도를 이루고 맵이 전사임을 보장한다.