[논문 리뷰] Transition from Tracy-Widom to Gaussian fluctuations of extremal eigenvalues of sparse Erdős-Rényi graphs

Jiaoyang Huang, Benjamin Landon외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Random Matrices and Applications참고 문헌 43인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 희박한 에르되시-레니 랜덤 행렬의 가장자리 고유값 통계에서 임계 희박성 임계점 $ p \sim N^{-2/3} $ 에서 단계 전이를 규명한다. $ N^{-7/9} \ll p \ll N^{-2/3} $ 인 경우, 극단 고유값은 가우시안 변동을 보이며, $ p = C N^{-2/3} $ 에서는 그들의 변동이 트레이시-위드먼과 가우시안 성분을 혼합하여, 동일한 평균 차수를 가진 정규 그래프보다 고유값의 강성 감소를 보인다.

ABSTRACT

We consider the statistics of the extreme eigenvalues of sparse random matrices, a class of random matrices that includes the normalized adjacency matrices of the Erdős-Rényi graph $G(N,p)$. Tracy-Widom fluctuations of the extreme eigenvalues for $p\gg N^{-2/3}$ was proved in [17,46]. We prove that there is a crossover in the behavior of the extreme eigenvalues at $p\sim N^{-2/3}$. In the case that $N^{-7/9}\ll p\ll N^{-2/3}$, we prove that the extreme eigenvalues have asymptotically Gaussian fluctuations. Under a mean zero condition and when $p=CN^{-2/3}$, we find that the fluctuations of the extreme eigenvalues are given by a combination of the Gaussian and the Tracy-Widom distribution. These results show that the eigenvalues at the edge of the spectrum of sparse Erdős-Rényi graphs are less rigid than those of random $d$-regular graphs [4] of the same average degree.

연구 동기 및 목표

• 희박한 에르되시-레니 랜덤 행렬의 극단 고유값의 통계적 행동, 특히 임계 희박성 임계점 $ p \sim N^{-2/3} $ 근처에서 이해하기.
• Tracy-Widom 변동이 더 이상 支배하지 않는 영역인 $ N^{-7/9} \ll p \ll N^{-2/3} $ 에서의 가장자리 고유값 강성 붕괴를 해결하기.
• 희박한 랜덤 행렬의 가장자리 고유값 통계에서 트레이시-위드먼에서 가우시안 변동으로의 전이 특성 규명하기.
• 동일한 평균 차수를 가진 $ d $-정규 그래프와 비교하여, 희박한 에르되시-레니 그래프의 극단 고유값의 강성 분석하여, 더 약한 고유값 제약 조건을 드러내기.

제안 방법

• 행렬 원소의 고차수 모멘트를 포함한 자기일관성 방정식을 통한 경험적 스펙트럼 측도의 스틸체스 변환 분석.
• 시간에 따라 변하는 외란을 포함한 다이슨 브라운 motion을 통한 역학적 접근을 통한 고유값 통계의 진화 모델링.
• 행렬 원소의 네 번째 및 여섯 번째 모멘트 보정 항을 포함한 고차수 자기일관성 방정식을 통한 그린 함수 유도.
• 가장자리 근처에서 스펙트럼 가장자리 $ \tilde{L} $ 와 스틸체스 변환 $ m(z) $ 의 점근적 전개를 통해 주요 변동 척도 규명.
• 노이즈를 추가한 시간 진화 행렬 $ H(t) $ 의 가장자리 고유값 분포를 밀도 추론 기반으로 원래의 희박한 집합과 비교.
• 자유 병합 계산과 순간 추정을 적용하여 자기일관성 방정식의 오차 항 제어.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박한 에르되시-레니 그래프의 가장자리 고유값 변동은 $ p \ll N^{-2/3} $ 인 경우, 특히 $ N^{-7/9} \ll p \ll N^{-2/3} $ 영역에서 어떻게 되는가?
• RQ2 임계점 $ p \sim N^{-2/3} $ 를 넘어서면 가장 큰 고유값의 변동 척도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 희박한 랜덤 행렬의 가장자리 통계에서 트레이시-위드먼과 가우시안 변동 사이의 전이의 본질은 무엇인가?
• RQ4 왜 희박한 에르되시-레니 그래프의 극단 고유값은 동일한 평균 차수를 가진 $ d $-정규 그래프보다 더 약한 강성을 보이는가?
• RQ5 고차수 모멘트가 반지름 법칙을 초월하여 가장자리 통계를 어떻게 수정하는가?

주요 결과

• $ N^{-7/9} \ll p \ll N^{-2/3} $ 인 경우, 극단 고유값은 점차적으로 가우시안 변동을 보이며, 주요 척도는 $ (p^{1/2}N)^{-1} $ 의 순서를 가지며, 이는 트레이시-위드먼 척도 $ N^{-2/3} $ 를 초과한다.
• 임계점 $ p = C N^{-2/3} $ 에서 가장자리 고유값의 변동은 트레이시-위드먼과 가우시안 성분의 조합으로 나타나, 비보편적인 전이를 나타낸다.
• $ N^{-7/9} \ll p \ll N^{-2/3} $ 영역에서 스펙트럼 가장자리 $ \tilde{L} $ 는 $ (p^{1/2}N)^{-1} $ 기여가 $ N^{-2/3} $ 트레이시-위드먼 변동보다 지배하므로, 가장자리 고유값 강성이 $ N^{-2/3} $ 척도에서 붕괴된다.
• 스펙트럼 가장자리 $ \tilde{L} $ 는 행렬 원소의 비가우시안 고차수 모멘트를 반영하는 $ \mathcal{C}_4 $, $ \mathcal{C}_6 $, 및 $ \mathcal{X} $ 를 포함한 결정론적 이동에 의해 보정된다.
• 희박한 에르되시-레니 그래프의 고유값 통계는 동일한 평균 차수를 가진 $ d $-정규 그래프보다 더 약한 강성을 보이며, 이는 희박 영역에서 비가우시안 변동의 지배 때문이 다.
• 분석을 통해 $ p \sim N^{-2/3} $ 이하의 희박 영역에서는 트레이시-위드먼 법칙이 보편적이지 않으며, 새로운 변동 영역이 존재함을 확인한다.