[논문 리뷰] Triangle packing in (sparse) tournaments: approximation and kernelization

Stéphane Bessy, Marin Bougeret외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 13.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 희박한 토너먼트에서 삼각형 정렬 문제를 연구하며, P = NP 가 아닌 한 PTAS 가 존재하지 않음을 증명하고, 뒷면 간선 길이가 적어도 $c$ 인 토너먼트에 대해 $(1 + \frac{6}{c-1})$-근사 알고리즘을 제안한다. 피드백 아크 세트 크기가 $m$ 인 경우 $\mathcal{O}(m)$ 정점 커널을 확립하였으며, NP ⊆ coNP/Poly 가 아닌 한 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 크기의 커널이 존재하지 않음을 보이며, 일반적인 경우에 $\mathcal{O}(k)$ 커널을 얻는 것은 여전히 열린 도전 과제이다.

ABSTRACT

Given a tournament T and a positive integer k, the C_3-Pakcing-T problem asks if there exists a least k (vertex-)disjoint directed 3-cycles in T. This is the dual problem in tournaments of the classical minimal feedback vertex set problem. Surprisingly C_3-Pakcing-T did not receive a lot of attention in the literature. We show that it does not admit a PTAS unless P=NP, even if we restrict the considered instances to sparse tournaments, that is tournaments with a feedback arc set (FAS) being a matching. Focusing on sparse tournaments we provide a (1+6/(c-1)) approximation algorithm for sparse tournaments having a linear representation where all the backward arcs have "length" at least c. Concerning kernelization, we show that C_3-Pakcing-T admits a kernel with O(m) vertices, where m is the size of a given feedback arc set. In particular, we derive a O(k) vertices kernel for C_3-Pakcing-T when restricted to sparse instances. On the negative size, we show that C_3-Pakcing-T does not admit a kernel of (total bit) size O(k^{2-ε}) unless NP is a subset of coNP / Poly. The existence of a kernel in O(k) vertices for C_3-Pakcing-T remains an open question.

연구 동기 및 목표

• 토너먼트에서의 삼각형 정렬 문제(C3-Packing-T)의 근사 가능성과 커널화 복잡도를 분석하는 것.
• 강력한 근사 불가능성 결과를 확립하여, 피드백 아크 세트가 매칭인 경우조차도 PTAS 가 존재하지 않음을 보이는 것.
• 뒷면 간선 길이가 적어도 $c$ 인 토너먼트에 대해 $(1 + \frac{6}{c-1})$-근사 알고리즘을 설계하는 것.
• 피드백 아크 세트 크기 $m$ 을 기반으로 $\mathcal{O}(m)$ 정점 커널을 제공하고, 희박한 경우에 대해 $\mathcal{O}(k)$ 커널을 제시하는 것.
• NP ⊆ coNP/Poly 가 아닌 한 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 크기의 커널이 존재하지 않음을 증명하여, 일반적인 경우에 $\mathcal{O}(k)$ 커널이 존재하는지 여부를 강조하는 것.

제안 방법

• 어려운 문제에서의 감소를 통해 근사 불가능성을 증명하여, 피드백 아크 세트가 매칭인 희박한 토너먼트에서도 PTAS 가 존재하지 않음을 보이는 것.
• 선형 순서와 뒷면 간선 길이 $c$ 를 기반으로 한 구조적 분해를 사용하여 $(1 + \frac{6}{c-1})$-근사 알고리즘을 설계하는 것.
• 피드백 아크 세트 $F$ 의 크기가 $m$ 인 경우, 해의 등가성을 유지하면서 토너먼트를 축소하여 $\mathcal{O}(m)$ 크기의 커널을 구성하는 것.
• 약한 조합 정리(weak composition theorem)를 사용하여, $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 크기의 커널이 존재하지 않음을 보이며, 이는 NP ⊆ coNP/Poly 가 아닐 경우에만 성립한다.
• 완벽한 정렬 조합 프레임워크를 적용하여 $t$ 개의 인스턴스를 하나의 토너먼트로 통합하며, $g = \sqrt{t}$ 와 $P_{(n,g)}$, $M_G$, $K_q$ 등의 구조적 구성 요소를 활용하는 것.
• 예컨대 주장 7와 같은 구조적 주장들을 활용하여, 조합된 인스턴스에서 완벽한 정렬이 존재하면 기저 인스턴스 중 하나에서 또한 완벽한 정렬이 존재하고, 그 반대도 성립함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피드백 아크 세트가 매칭인 경우조차도 C3-Packing-T 가 PTAS 를 가질 수 있는가?
• RQ2 뒷면 간선 길이가 적어도 $c$ 인 토너먼트에 대해 $(1 + \frac{6}{c-1})$-근사 알고리즘이 달성 가능한가?
• RQ3 일반적인 토너먼트에서 C3-Packing-T 에 대해 $\mathcal{O}(k)$ 크기의 커널이 존재하는가, 아니면 $\mathcal{O}(k)$ 는 달성 불가능한가?
• RQ4 C3-Packing-T 에 대해 가능한 가장 날카로운 커널 크기는 무엇이며, $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 크기의 커널이 존재하는가, 이는 NP ⊆ coNP/Poly 가 아닐 경우에만 성립한다.
• RQ5 커널화와 근사 접근 방식을 통합하여, 희박한 토너먼트에서 4/3 보다 더 좋은 근사 비율을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• C3-Packing-T 는 P = NP 가 아닐 경우, 피드백 아크 세트가 매칭인 희박한 토너먼트에서도 PTAS 를 가질 수 없다.
• $c$ 이상의 뒷면 간선 길이를 가진 토너먼트에 대해 $(1 + \frac{6}{c-1})$-근사 알고리즘이 제안되었으며, $c$ 가 클수록 성능이 향상된다.
• 피드백 아크 세트 크기 $m$ 을 기반으로 $\mathcal{O}(m)$ 정점 커널이 구성되었으며, 희박한 경우에 대해 $\mathcal{O}(k)$ 커널이 유도되었다.
• NP ⊆ coNP/Poly 가 아닐 경우 C3-Packing-T 에 대해 $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ 크기의 커널이 존재하지 않음을 증명하여 강력한 하한을 확립하였다.
• 일반적인 C3-Packing-T 에 대해 $\mathcal{O}(k)$ 정점 커널의 존재성은 여전히 열린 문제이다.
• 조합된 인스턴스 구성은 전체 토너먼트에서 완벽한 정렬이 존재하는 것과 기저 인스턴스 $\mathcal{I}_{(p_0,q_0)}$ 에서 완벽한 정렬이 존재하는 것이 동치임을 보여주며, 이는 커널 크기 하한을 도출하는 데 기여한다.