[논문 리뷰] Triangle Tiling I: The tile is similar to ABC or has a right angle

Michael Beeson|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 05.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 삼각형 ABC가 일정한 타일 T의 N개의 합동 복사본으로 테일링될 수 있는 조건을 완전히 특성화한다. 특히 T가 ABC와 유사하거나 직각삼각형인 경우를 중심으로 다룬다. 선형대수학, 체 이론, 그리고 기하학적 기법을 사용하여, T가 ABC와 유사하고 ABC가 직각삼각형이나 30-60-90삼각형이 아닐 경우, N은 완전제곱수여야 한다는 것을 증명한다. 30-60-90삼각형의 경우, N은 제곱수의 3배일 수도 있다. T가 직각삼각형인 경우, N은 제곱수의 두 배이거나 여섯 배여야 하며, T가 ABC와 유사할 경우 N은 두 제곱수의 합이어야 한다.

ABSTRACT

An N -tiling of triangle ABC by triangle T is a way of writing ABC as a union of N triangles congruent to T, overlapping only at their boundaries. The triangle T is the "tile'". The tile may or may not be similar to ABC . This paper is the first of several papers, which together seek a complete characterization of the triples (ABC,N,T) such that ABC can be N -tiled by T . In this paper, we consider the case in which the tile is similar to ABC, the case in which the tile is a right triangle, and the case when ABC is equilateral. We use (only) techniques from linear algebra and elementary field theory, as well as elementary geometry and trigonometry. Our results (in this paper) are as follows: When the tile is similar to ABC, we always have "quadratic tilings'" when N is a square. If the tile is similar to ABC and is not a right triangle, then N is a square. If N is a sum of two squares, N = e^2 + f^2, then a right triangle with legs e and f can be N -tiled by a tile similar to ABC ; these tilings are called "biquadratic". If the tile and ABC are 30-60-90 triangles, then N can also be three times a square. If T is similar to ABC, these are all the possible triples (ABC, T, N) . If the tile is a right triangle, of course it can tile a certain isosceles triangle when N is twice a square, and in some cases when N is six times a square. Equilateral triangles can be 3-tiled and 6-tiled and hence they can also be 3n^2 and 6n^2 tiled for any n . We also discovered a family of tilings when N is 3 times a square, which we call the "hexagonal tilings." These tilings exhaust all the possible triples (ABC, T, N) in case T is a right triangle or is similar to ABC . Other cases are treated in subsequent papers.

연구 동기 및 목표

• 삼각형 ABC가 일정한 타일 T로 N개의 복사본으로 테일링될 수 있는 모든 삼중조합 (ABC, N, T)을 완전히 분류하는 것.
• T가 ABC와 유사하거나 직각삼각형인 경우, 그러한 테일링이 존재할 수 있는 정확한 N의 값을 결정하는 것.
• 이러한 조건 하에서 가능한 N의 형태—예를 들어 제곱수, 두 제곱수의 합, 또는 제곱수의 배수—가 제한됨을 규명하는 것.
• 기하학적 및 대수적 분석을 통해 엄밀한 기초 기법만을 사용하여 나머지 모든 N의 값들을 배제하는 것.

제안 방법

• 테일링 제약 조건을 분석하고 N에 대한 필요 조건을 도출하기 위해 선형대수학과 기초 체 이론을 사용한다.
• 삼각함수 항등식과 기하 분해 기법을 적용하여 다양한 N에 대해 명시적인 테일링을 구성한다.
• 평행선을 이용해 ABC를 n²개의 더 작은 유사 삼각형으로 나누는 방식으로 '이차 테일링' 개념을 도입한다.
• N = e² + f²일 때, 빗변이 e와 f인 두 개의 직각삼각형 하위테일링을 사용하여 '이중이차 테일링'을 정의한다.
• ABC와 T가 모두 30-60-90삼각형인 경우, N = 3m²일 때 '육각형 테일링'을 도입한다.
• 하위테일링과 복합/소수 테일링의 개념을 활용하여, 재귀적이고 체계적인 방식으로 테일링을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ABC가 직각삼각형이나 30-60-90삼각형이 아니라고 가정할 때, 삼각형 ABC가 T와 유사한 타일 T로 N개로 테일링될 수 있는 N의 값은 무엇인가?
• RQ2 T가 직각삼각형이고 ABC가 정삼각형이 아닐 경우, 가능한 N의 값은 무엇인가?
• RQ3 T가 ABC와 유사하고 ABC가 한 예각의 탄젠트가 유리수인 직각삼각형일 경우, N이 두 제곱수의 합이 될 수 있는가?
• RQ4 정삼각형이 비유사한 직각삼각형으로 테일링될 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 N에 대해 가능한가?
• RQ5 T가 직각삼각형이거나 ABC와 유사할 경우, N-테일링이 존재하는 삼중조합 (ABC, N, T)의 완전한 집합은 무엇인가?

주요 결과

• T가 ABC와 유사하고 ABC가 직각삼각형이나 30-60-90삼각형이 아니면, N은 완전제곱수여야 한다.
• T가 직각삼각형이고 ABC가 정삼각형이 아니면, N은 제곱수의 두 배이거나 여섯 배여야 하며, T가 ABC와 유사할 경우 N은 두 제곱수의 합이어야 한다.
• 30-60-90삼각형의 경우, N은 제곱수이거나 제곱수의 3배일 수 있으며, 이는 '삼중제곱 테일링'에 해당한다.
• ABC가 정삼각형인 경우, N은 3m²(이sov삼각형 타일일 때), 6m² 또는 2m²(30-60-90타일일 때), 또는 완전제곱수(유사 타일일 때)가 될 수 있다.
• N = e² + f²이고 T가 빗변이 e와 f인 직각삼각형이면, 이중이차 테일링이 존재하며, 이는 직각삼각형 ABC를 테일링한다.
• 논문은 분류된 것 이외의 모든 테일링이 존재하지 않음을 증명하여, 유사하거나 직각삼각형 타일에 대해 가능한 모든 경우를 완전히 고갈시켰다.