[논문 리뷰] Triangulated categories of motives in positive characteristic

Shane Kelly|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 34인용 수 60

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 스킴 위의 모티브의 삼등분 범주를 구축하며, cdh 및 ℓdh 위상수학의 비교, 모티브 코homology에서의 트레이스, 기저 변경 및 프로젝티브 복합체에 대한 이중형 사이클 코homology의 행동과 같은 기본 성질을 확립한다. 주요 기여는 지수 특성의 역수를 취한 후 이중형 사이클 코homology에 대한 호모토피 및 스üs펜션 동형을 증명하는 것으로, 프리드랜더와 보에보츠키의 고전 결과를 양의 특성으로 확장한다.

ABSTRACT

This thesis presents a way to apply this theorem of Gabber to a large portion of Voevodsky's work in order to lift the assumption that resolution of singularities holds. This gives unconditional versions of many of his and others' theorems provided we work Z[1/p] linearly, where p is the exponential characteristic of the base field. One example of the many applications we give is a partial answer to a 1980 conjecture of Weibel. Another is the removal of the hypothesis of resolution of singularities from a result of Suslin that compares Bloch's higher Chow groups and etale cohomology. Voevodsky's main tool in applying resolution of singularities is the cdh topology. We enlarge it slightly in order to apply this theorem of Gabber, presenting in this thesis a topology that we name the ldh topology, where l is a prime. We compare the cdh and ldh topologies using the concept of a "presheaf with traces", providing conditions under which the cdh and ldh sheafifications of a presheaf agree, as well as its cdh and ldh cohomologies. As far as applying resolution of singularities to motives goes, Voevodsky's most important theorem can be rephrased as a cdh descent condition, and we are led to ask for conditions under which certain objects in the Morel-Voevodsky stable homotopy category satisfy ldh descent. In order to compare cdh and ldh descent, we generalise the notion of a "presheaf with traces" to the concept of an "object with traces". We build on some results of Pelaez on the functoriality of the slice filtration to show that this concept of an "object with traces" interacts well enough with the slice filtration to provide the ldh descent that we need.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 스킴 위의 삼등분 모티브 범주를 구축하고 연구함으로써, 보에보츠키의 프레임워크를 양의 특성 환경으로 확장하는 것.
• 모티브 코hom로에서 cdh와 ℓdh 위상수학 간의 비교를 확립하여, 양의 특성에서 트레이스와 전이를 사용할 수 있도록 하는 것.
• 지수 특성의 역수를 취한 후 이중형 사이클 코호몰로지에 대한 호모토피 불변성과 스üs펜션 동형을 증명하여, 프리드랜더와 보에보츠키의 결과를 일반화하는 것.
• 안정 호모토피 2-함수에 대한 슬라이스 필터링과 트레이스를 분석하여, 모티브 코호몰로지 계산을 위한 도구를 제공하는 것.
• 상대 사이클에 대한 특이점 해결과 모티브 범주에서의 음의 K-이론의 영성 증명을 통해 수신의 결과를 양의 특성으로 확장하는 것.

제안 방법

• cohomology 이론 간의 비교와 셰이프화 결과를 확립하기 위해 cdh 위상수학의 개선으로서 ℓdh 위상수학을 사용한다.
• 모티브 코호몰로지와 컴acts지지된 에탈 코호몰로지 간의 관계를 설정하기 위해 사전-함수와 트레이스, 전이 이론을 적용한다.
• 이중형 사이클 코호몰로지를 정의하고 그 함수적 성질을 연구하기 위해 상대 사이클 복합체 $ z_{equi}(X, r) $ 를 사용한다.
• Pelaez의 정리(슬라이스 필터링의 함수적 성질에 관한)를 적용하여 모티브 범주의 구조를 분석한다.
• 정수의 역수를 취한 삼등분 범주에서의 국소화 기법을 사용하여 지수 특성의 역수를 취한 후 동형을 증명한다.
• 전역 명제를 국소 명제로 감소시키기 위해 $ bZ[S^{-1}] $-국소 대상과 $ bZ_{( ext{prime})} $-국소화를 통한 국소-전역 원리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 특이점 해결이 실패하는 양의 특성에서 삼등분 모티브 범주를 어떻게 구축하고 연구할 수 있는가?
• RQ2 모티브 코호몰로지에서 cdh와 ℓdh 위상수학 간의 관계는 무엇이며, 이는 셰이프화와 코호몰로지 계산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이중형 사이클 코호몰로지에 대해 양의 특성에서 얼마나 호모토피 불변성과 스üs펜션 동형이 성립하는가?
• RQ4 모티브 안정 호모토피 범주에서 트레이스와 전이의 행동은 어떻게 되며, 이를 통해 모티브 코호몰로지와 에탈 코호몰로지를 어떻게 연결할 수 있는가?
• RQ5 양의 특성의 체 위에서 모티브 범주에서 음의 K-이론의 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 이 논문은 대수적으로 닫힌 체에서 특성이 $ p $ 인 등차원적이고 준사영적인 스킴 $ X $ 에 대해, $ m $ 이 $ p $ 와 서로소일 경우 $ bZ/m $-계수의 고차 초우룹이 컴팩트 지지된 에탈 코호몰로지와 동형임을 증명한다. 이는 수신의 결과를 일반화한 것이다.
• 이중형 사이클 코호몰로지가 지수 특성 $ p $ 를 역수로 취한 후에도 호모토피 불변성을 만족함을 증명한다. 즉, $ A_{r,i}(Y,X)[1/p] o A_{r+1,i}(Y,X imesbA^1)[1/p] $ 는 동형이다.
• 지수 특성 $ p $ 를 역수로 취한 후 이중형 사이클 코호몰로지에 대해 스üs펜션 및 코스üs펜션 동형을 증명한다. 즉, $ A_{r+1,i}(Y,X imesbP^1)[1/p] o A_{r+1,i}(Y,X)[1/p] imes A_{r,i}(Y,X)[1/p] $ 는 동형이다.
• 지수 특성 $ p $ 를 역수로 취한 후 이중형 코호몰로지에 대한 Gysin 사상에 대해 표준적인 장점 정렬 시퀀스를 확립한다. 이는 매끄러운 스킴에 대한 국소화 시퀀스를 일반화한 것이다.
• 지수 특성의 역수를 취한 후 모티브 범주에서의 음의 $ K $-이론이 영이 됨을 증명한다. 이는 보에보츠키의 결과를 확장한 것이다.
• 슬라이스 필터링이 안정 모티브 호모토피 범주에서 트레이스와 전이와 호환됨을 증명하여, 모티브 코호몰로지 계산을 위한 프레임워크를 제공한다.