[논문 리뷰] Triple crossing numbers of graphs

Hiroyuki Tanaka, Masakazu Teragaito|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 23.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 오직 삼중 교차점만 허용하는 그림에서의 최소 삼중 교차점 수로 정의된 그래프의 삼중 교차수(tcr)를 소개한다. 모든 완전 다중분할 그래프에 대해 tcr를 규명하였으며, t ≥ 5개의 분할 집합을 가진 그래프에 대해서는 tcr(G) = ∞임을 보이고, t ≤ 4에 대해서는 정확한 값을 제시한다. 특히 tcr(K_{n,3}) = 2 (n ≥ 7일 때) 및 tcr(K_{6,1,1,1}) = 2임을 확인하였다.

ABSTRACT

We introduce the triple crossing number, a variation of crossing number, of a graph, which is the minimal number of crossing points in all drawings with only triple crossings of the graph. It is defined to be zero for a planar graph, and to be infinite unless a graph admits a drawing with only triple crossings. In this paper, we determine the triple crossing numbers for all complete multipartite graphs including all complete graphs.

연구 동기 및 목표

• 오직 삼중 교차점만을 허용하는 그림을 기반으로 삼중 교차수(tcr)를 새로운 그래프 불변량으로 정의하고 형식화하는 것.
• 완전 다중분할 그래프 중에서 오직 삼중 교차점만을 포함하는 반정규 그림이 존재하는 그래프를 규명하는 것.
• 특히 t ≤ 4인 완전 다중분할 그래프 K_{n₁,…,nₜ}에 대해 tcr(G)의 정확한 값을 계산하는 것.
• 기하학적 및 조합적 추론을 통해 완전 다중분할 그래프가 유한한 tcr를 가지는 데 필요한 충분조건과 필요조건을 설정하는 것.
• n중 교차수 개념을 일반화하고, 비평면 그래프에 대한 영향을 논의하는 것.

제안 방법

• tcr(G)를 G의 반정규 그림에서 삼중 교차점의 최소 수로 정의하며, 그러한 그림이 존재하지 않으면 tcr(G) = ∞로 간주한다.
• 에지 수 q와 정점 수 p에 대해 q > 3p - 6이면 tcr(G) = ∞임을 보이기 위해 보조정리 2.3을 활용한다.
• 오일러의 공식과 면 수 계산(보조정리 2.4를 통한)을 통해 반정규 그림에서 삼중 교차점을 정점으로 대체한 평면 그래프의 구조를 분석한다.
• 기하적 추론을 통해 K_{5,4}, K_{4,4}, K_{5,3}, K_{n,3} (n ≥ 7)와 같은 일부 완전 이분할 그래프가 반정규 그림을 가질 수 없음을 보인다.
• K_{3,1,1,1}, K_{4,1,1,1}, K_{6,1,1,1}와 같은 그래프에 대해 최소 삼중 교차점을 갖는 구체적인 그림을 제시하여 tcr = 1 또는 2임을 확인한다.
• 분할 집합의 크기 기반 사례 분석을 통해 삼분할 및 사분할 그래프에 대해 접근을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 완전 다중분할 그래프에 대해 오직 삼중 교차점만을 포함하는 반정규 그림이 존재하는가?
• RQ2 t ≤ 4개의 분할 집합을 가진 완전 다중분할 그래프에 대해 삼중 교차수의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ3 왜 t ≥ 5개의 분할 집합을 가진 완전 다중분할 그래프는 삼중 교차수가 무한대인가?
• RQ4 완전 이분할 그래프 K_{n,m}에서 m = 3일 때 삼중 교차수를 계산할 수 있는가?
• RQ5 삼중 교차수는 고전적 교차수와 다른 변형(예: n중 교차수)과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 완전 다중분할 그래프 K_{n₁,…,nₜ}의 삼중 교차수는 t ≥ 5일 때, 간선 수가 3p - 6을 초과함에 따라 무한대이다.
• t = 4일 때, n₁, n₂, n₃, n₄ 중 하나 이상이 3 이상이면 tcr(K_{n₁,n₂,n₃,n₄}) = ∞이며, 유일한 예외는 K_{3,1,1,1}과 K_{4,1,1,1}로, 이들의 tcr는 1이다.
• K_{6,1,1,1}의 삼중 교차수는 2이며, 이는 구체적인 그림으로 확인되었고, tcr(K_{6,3}) = 2라는 사실과 일치한다.
• 삼분할 그래프 K_{n₁,n₂,n₃}에 대해, n₃ ≥ 3 이거나, n₃ = 2 이고 (n₁,n₂) ≠ (2,2) 이거나, n₃ = 1 이고 n₂ ≥ 4 이거나 (n₂ = 3 이고 n₁ ≥ 4)일 경우 tcr(G) = ∞이다.
• 기하적 구성과 K_{n,3}으로의 환원을 통해 tcr(K_{3,3,1}) = 1, tcr(K_{3,2,1}) = 1, tcr(K_{4,2,1}) = 1, tcr(K_{6,2,1}) = 2임을 확인하였다.
• 삼중 교차수는 tcr(G) = 0이 되는 것은 G가 평면일 때이고, 일반적으로 tcr(G) ≤ cr(G)/3를 만족한다. 이는 삼중 교차점을 세 개의 이중 교차점으로 분리하는 변형에 기인한다.