[논문 리뷰] Triple product p-adic L-functions associated to finite slope p-adic families of modular forms, with an appendix by Eric Urban

Fabrizio Andreatta, Adrian Iovita|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 p-진 모듈라 곡선 위의 벡터(bundle)와 표시된 절단을 갖는 기하적 프레임워크를 사용하여 유한 기울기 p-진 가족의 모듈라 형식에 대한 삼중 곱 p-진 L-함수를 구축한다. 이는 이전에 일반화된 경우나 Hida 가족에 국한된 결과에 비해, 기울기 유한한 경우에 대한 오랜 공백을 메우며, p-진 가족의 거의 과수렴형 모듈라 형식을 정의하고, Gauss-Manin 접속과 과수렴형 투영을 통해 보간 성질을 증명한다. 추가로 에릭 어urban이 작성한 부록에서 수정된 구성이 포함되어 있다.

ABSTRACT

We p-adically interpolate the relative de Rham cohomology of the universal elliptic curve over strict neighbourhoods of the ordinary locus of modular curves, together with the Hodge filtration and Gauss-Manin connection. Sections of these sheaves provide the so called nearly overconvergent modular forms. This extends previous work of Andreatta, Iovita and Pilloni where we p-adically interpolate powers of the Hodge bundle and in that case the sections coincide with Coleman overconvergent modular forms. We also show that, under suitable assumptions, one can p-adically interpolate the Gauss-Manin connection. This is used to define p-adic L-functions attached to a triple of p-adic finite slope families of modular forms, generalizing previous constructions for Hida families.

연구 동기 및 목표

• 기존의 일반화 또는 Hida 가족에 국한된 결과에 비해, 유한 기울기 p-진 가족의 삼중 곱에 대한 p-진 L-함수를 구축하는 것.
• 2014년 어urban의 랭킨-셀버그 p-진 L-함수 구성에서 기울기 유한한 경우에 발생하는 핵심적 공백을 해결하는 것.
• p-진 가족의 모듈라 층과 p-나누어지는 군에 적용 가능한 일반적인 기하적 프레임워크인 표시된 절단을 갖는 벡터(bundle)를 개발하는 것.
• 유한 기울기의 과수렴형 고유형식에 대한 크리스탈린 Eichler-Shimura 동형사상 계획을 수립하여 향후 연구의 기초를 마련하는 것.
• 기울기 유한한 설정에서 거의 과수렴형 아이zen스타인 가족과 관련된 p-진 L-함수의 수정된 완전한 구성 제공

제안 방법

• p-진 모듈라 층의 변형을 모델링하기 위해 함수 층에 필터레이션과 함께 형식적 벡터(bundle)와 표시된 절단을 도입한다.
• 모듈라 층의 변형으로서 $\mathbb{W}_k$를 정의하고, Gauss-Manin 접속 $\nabla_k$를 갖춘다.
• U-연산자와 V-연산자를 사용하여 p-탈락을 정의하고, 과수렴형 투영을 통해 거의 과수렴형 모듈라 형식을 구성한다.
• Gauss-Manin 접속을 반복적으로 적용하여 성장이 제어된 p-진 코hom로 클래스와 q-전개를 생성한다.
• 꼬임과 유한 기울기 투영자를 사용하여 $A(\mathfrak{V} \times \mathcal{E}_{Q,\mathfrak{U}} \times \mathfrak{X}')[[q]]$ 내의 q-전개로서 삼중 곱 p-진 L-함수 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U},R,\mathfrak{V}}$를 구성한다.
• q-전개에 대한 $\nabla$-작용을 적용하여 보간 성질을 검증하고 고전적 특수값과의 호환성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 유한 기울기 p-진 가족의 모듈라 형식에 대해 일반화된 경우를 초월하여 삼중 곱 p-진 L-함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 표시된 절단을 갖는 벡터(bundle)의 기하적 프레임워크는 어떻게 p-진 가족의 거의 과수렴형 모듈라 형식을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 Gauss-Manin 접속과 그 반복은 어떤 방식으로 보간 성질을 갖는 p-진 L-함수를 정의하는 데 기여하는가?
• RQ4 어디서나 발생하는 어urban(2014)의 결함 있는 구성은 어떻게 수정되어 기울기 유한한 경우에 유효한 p-진 L-함수를 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 기울기 조건에 대한 가정을 완화하고 전체 고유곡선으로까지 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 세 유한 기울기 p-진 가족의 삼중 곱 p-진 L-함수 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U},R,\mathfrak{V}}$를 구성하였으며, 이는 비균형 영역에서도 유효하다.
• 에릭 어urban이 작성한 부록에서 결함이 수정되어, 어urban(2014)의 기울기 유한한 경우에 대한 랭킨-셀버그 p-진 L-함수에 대한 치명적인 공백이 보완되었다.
• p-진 L-함수의 q-전개가 고전적 점에서 삼중 곱 L-함수의 특수값을 보간함을 보였다.
• 이 방법은 Gauss-Manin 접속과 그 반복이 p-진 코호몰로지 클래스의 가족과 q-전개를 일치시키는 데 성공했음을 입증한다.
• 유한 기울기 투영자 $e_{R,\mathfrak{V}}$는 보편 가족 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U}}$에서 무게 $\kappa$의 거의 과수렴형 형식을 성공적으로 분리한다.
• 조건 $u_\kappa \in p\Lambda_I$를 위상적 영원성으로 대체함으로써, ${\mathfrak{X}}'$에서 ${\mathfrak{X}}$로의 일반화가 가능함을 보여주며, 더 넓은 적용 가능성을 시사한다.