[논문 리뷰] Twisted Brauer monoids

Igor Dolinka, James East|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 29.

semigroups and automata theory참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고전적 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n$의 변형인 휘어진 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n^\tau$를 도입하고 분석하며, 그 그린 관계, 아이디얼 구조, 생성집합에 초점을 맞춘다. 주된 결과로는 주어진 아이디얼이 아이디포텐트로 생성될 조건이 정확히 결함이 $n-2$인 원소들에 의해 생성될 때임을 증명하며, 각 주어진 아이디얼의 랭크와 아이디포텐트 랭크에 대한 정확한 공식을 제시한다. 이때 아이디얼이 아이디포텐트로 생성될 경우 이 두 값이 동일하다는 것을 보여준다. 핵심 결과로는 $n \geq 3$일 때 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$의 비정칙 부분이 아이디포텐트로 생성됨을 확인하며, 말체프와 마조르추크의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We investigate the structure of the twisted Brauer monoid $\mathcal B_n^τ$, comparing and contrasting it to the structure of the (untwisted) Brauer monoid $\mathcal B_n$. We characterise Green's relations and pre-orders on $\mathcal B_n^τ$, describe the lattice of ideals, and give necessary and sufficient conditions for an ideal to be idempotent-generated. We obtain formulae for the rank (smallest size of a generating set) and (where applicable) the idempotent rank (smallest size of an idempotent generating set) of each principal ideal; in particular, when an ideal is idempotent-generated, its rank and idempotent rank are equal. As an application of our results, we also describe the idempotent-generated subsemigroup of $\mathcal B_n^τ$ (which is not an ideal) as well as the singular ideal of $\mathcal B_n^τ$ (which is neither principal nor idempotent-generated), and we deduce a result of Maltcev and Mazorchuk that the singular part of the Brauer monoid $\mathcal B_n$ is idempotent-generated.

연구 동기 및 목표

• 휘어진 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n^\tau$의 대수적 구조를 조사하는 것, 이는 고전적 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n$의 변형이다.
• 그린 관계와 전순서를 $\mathcal{B}_n^\tau$에서 특성화하고, 정칙 원소들을 식별하는 것.
• $\mathcal{B}_n^\tau$의 아이디얼 격자 구조를 분류하고, 아이디얼이 아이디포텐트로 생성되기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• $\mathcal{B}_n^\tau$의 각 주어진 아이디얼의 랭크와 아이디포텐트 랭크를 계산하고, 아이디포텐트로 생성된 부분세마그룹과 비정칙 아이디얼을 분석하는 것.
• 말체프와 마조르추크가 제시한 브라우어 모노이드의 비정칙 부분이 아이디포텐트로 생성됨에 대한 결과를 확장하고 확인하는 것.

제안 방법

• 논문은 $\mathcal{B}_n^\tau$의 원소들을 $[n] \cup [n]'$의 2원소 블록들로의 집합 분할로 도식화하여 표현하며, 이때 휘어진 매개변수 $\tau$가 떠도는 성분을 코딩한다.
• 그린 관계와 전순서는 원소의 결함과 랭크를 통해 특성화되며, 특히 랭크 $r$에 대해 $d = n - r$로 정의되는 결함 $d$에 중점을 둔다.
• 아이디얼 격자는 결함과 랭크에 따라 분류되며, 결함 $d$와 랭크 $r$을 갖는 원소에 대응하는 주어진 아이디얼 $I_{d;r}$로 표현된다.
• 생성집합은 아이디포텐트의 구조와 $\tau$가 떠도는 성분을 추적하는 휘어진 곱셈 $\alpha \star \beta = (\tau(\alpha,\beta), \alpha\beta)$를 통해 분석된다.
• 주어진 아이디얼의 랭크와 아이디포텐트 랭크는 최소 생성집합의 조합적 수세기 방법을 통해 계산되며, 주요 경계는 $D_{n;1}$과 $I_{n-2;0}$의 생성집합으로부터 유도된다.
• 아이디포텐트로 생성된 부분세마그룹은 $\{1\} \cup I_{n-2;0}$로 나타나며, 비정칙 아이디얼은 주어지지 않은, 아이디포텐트로 생성되지 않은 아이디얼로 분석된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 휘어진 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n^\tau$에서 그린 관계와 전순서는 무엇이며, 어떤 원소들이 정칙인가?
• RQ2 $\mathcal{B}_n^\tau$의 아이디얼 격자는 어떻게 구성되어 있으며, 주어진 아이디얼은 무엇으로 특징지어지는가?
• RQ3 $\mathcal{B}_n^\tau$의 아이디얼이 아이디포텐트로 생성되기 위한 조건은 무엇이며, 이러한 아이디얼의 랭크와 아이디포텐트 랭크는 무엇인가?
• RQ4 휘어진 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n^\tau$의 아이디포텐트로 생성된 부분세마그룹의 구조는 무엇이며, 비정칙 아이디얼과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 고전적 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$의 비정칙 부분은 아이디포텐트로 생성되는가? 이는 휘어진 모노이드 구조를 통해 확인될 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 아이디얼 $I_{n-2;0}$의 랭크는 ${n \choose 2} + n!$이며, 이 아이디얼이 아이디포텐트로 생성되므로 아이디포텐트 랭크 역시 이 값과 같다.
• $\mathcal{B}_n^\tau$의 아이디얼 $I_{d;r}$가 아이디포텐트로 생성되려면 반드시 $d = n - 2$여야 하며, 이는 결함이 $n-2$인 원소들로 생성되는 아이디얼에 해당한다.
• 휘어진 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n^\tau$의 아이디포텐트로 생성된 부분세마그룹은 $\{1\} \cup I_{n-2;0}$이며, $n \geq 3$일 때 이의 랭크와 아이디포텐트 랭크는 모두 ${n \choose 2} + 1$이다.
• $n \geq 3$일 때 비정칙 부분 $\mathcal{B}_n \setminus \mathcal{S}_n$은 아이디포텐트로 생성되며, 이는 휘어진 모노이드 구조와 $I_{n-2;0}$에 속한 원소들이 $E^\tau(\mathcal{B}_n^\tau)$의 아이디포텐트들의 곱임을 통해 증명된다.
• 휘어진 브라우어 모노이드 $\mathcal{B}_n^\tau$의 비정칙 아이디얼은 주어지지도 않으며 아이디포텐트로 생성되지 않으며, 아이디포텐트로 생성된 부분세마그룹보다 엄밀히 크다.
• $n \geq 3$일 때 아이디얼 $I_{n-2;0}$는 $D_{n-2;0}$에서 온 ${n \choose 2}$개의 원소와 $D_{n;1}$에서 온 $n!$개의 원소로 생성되며, 임의의 생성집합의 크기는 최소 ${n \choose 2} + n!$여야 한다.