[논문 리뷰] Twisted characteristic $p$ zeta functions

Bruno Anglès, Tuân Ngô Dac외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 42인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 꼬임 있는 특성 $p$ 제타 함수를 전역 함수체 위에서 도입하여, Goss의 제타 함수와 Pellarin의 $L$-급수를 꼬임 있는 사상과 다변수를 통합함으로써 일반화한다. 핵심 소멸 보조정리와 $v$-진 보간을 사용하여 이러한 $L$-함수의 수렴성과 대수성을 증명하며, Thakur의 다중 제타 값들을 꼬임 있고 $v$-진 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We propose a "twisted" variation of zeta functions introduced by David Goss in 1979.

연구 동기 및 목표

• 광범위한 사상 $\eta: I(A) \to K^\times_\infty$ 를 사용하여 Goss의 특성 $p$ 제타 함수를 '꼬임'된 형태로 일반화한다.
• 양의 특성에서의 $L$-함수 이론을 다중 변수 및 다중 위치로 확장한다.
• 전역 함수체 위에서 꼬임 있는 제타 함수의 수렴성과 대수성을 확립한다.
• 다중 꼬임 있는 제타 함수에 대한 $v$-진 보간을 개발하여 Thakur의 다중 제타 값을 일반화한다.
• 양의 특성에서 $L$-함수의 특수값과 $p$-진 성질을 연구하기 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 유한 지수의 열린 부분군에 대해 $\eta(Ia) = \eta(I)\langle a\rangle^{n(\eta)} \gamma^{v_\infty(a)}$ 를 만족하는 꼬임 있는 사상 $\eta: I(A) \to K^\times_\infty$ 를 정의한다.
• 사상 $\rho_i: K(\eta) \to C_\infty$ 의 $s$개의 임bedding과 $\sigma_j: K_\infty(\langle\eta\rangle) \to C_\infty$ 의 $n$개의 연속 함수를 사용하여 꼬임 있는 제타 함수 $\zeta_{\eta,A}(\rho; \sigma; u)$ 를 구성한다.
• 핵심 기술 보조정리(보조정리 3.2)를 사용하여 모닉 다항식 위에서 특정 합의 소멸을 증명함으로써 $C_\infty^\times \times \mathbb{Z}_p^n$ 에서의 수렴성을 확보한다.
• 이deals의 중첩된 순서 $I_1 > I_2 > \cdots > I_r$ 또는 $I_1 \geq \cdots \geq I_r$ 에 대한 합을 통해 다중 꼬임 있는 제타 함수를 정의하며, $\eta(I_j)^{n_j}$ 와 $z_j^{\deg I_j}$ 를 포함한 가중치를 사용한다.
• $m_k \to n_1$ 이 $p$-진으로 수렴할 때, $Z_{\eta,A}((m_k,n_2,\dots,n_r);z)$ 의 $P_v$-진 극한으로 $Z_{v,\eta,A}(n;z)$ 를 정의함으로써 $v$-진 보간을 확립한다.
• $Z_{v,\eta,A}(n;z)$ 와 $Z^*_{v,\eta,A}(n;z)$ 가 $C_v^r$ 위에서 전체 함수임을 증명하며, 이는 Thakur의 다중 제타 값을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 꼬임 있는 사상으로 Goss의 제타 함수를 일반화하여 꼬임 매개변수를 포함시킬 수 있는가?
• RQ2 이러한 다변수 꼬임 $L$-함수의 수렴성과 대수성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 양의 특성에서 다중 꼬임 있는 제타 함수에 대해 $v$-진 보간을 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ4 지수들이 음의 정수로 수렴할 때 꼬임 있는 제타 함수의 $P_v$-진 극한은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 Tate 대수에서 Thakur의 다중 제타 값과 그 변형을 복원하거나 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 꼬임 있는 제타 함수 $\zeta_{\eta,A}(\rho; \sigma; u)$ 는 $C_\infty^\times \times \mathbb{Z}_p^n$ 에서 수렴하며, 본질적으로 대수적이다: $y_i \in \mathbb{N}$ 이면 $\zeta_{\eta,A}(\dots; (\prod \theta_i^{y_i}x, -y_1, \dots, -y_n)) \in F_q[t_1,\dots,t_s,\theta_1,\dots,\theta_n,x^{-1}]$ 이다.
• $n(\eta) \in \mathbb{Z}$ 이고 $n_1 n(\eta) \leq 0$ 이면, 다중 꼬임 제타 함수 $Z_{\eta,A}(n;z)$ 와 $Z^*_{\eta,A}(n;z)$ 는 $K(\eta_i(I), I \in I(A), i=1,\dots,r)[z_1,\dots,z_r]$ 에 속한다.
• $v$-진 꼬임 제타 함수 $Z_{v,\eta,A}(n;z)$ 와 $Z^*_{v,\eta,A}(n;z)$ 는 $C_v^r$ 위에서 전체 함수이며, Thakur의 다중 제타 값을 일반화한다.
• $A = \mathbb{F}_q[\theta]$, $\pi = 1/\theta$, $\eta = [\cdot]$ 이면, 함수 $Z_{v,\eta,A}(n;z)$ 는 Thakur의 다중 제타 값의 $P_v$-진 극한을 복원한다.
• $v$-진 극한은 $Z_{v,\eta,A}(n;z) = \lim_{k \to \infty} Z_{\eta,A}((m_k,n_2,\dots,n_r);z)$ 를 만족하며, 이는 타인 대수 $T_z(K_v)$ 내에서 성립한다. 여기서 $m_k \to n_1$ 이다.
• $n_1,\dots,n_r \leq 0$ 이면, $Z_{v,\eta,A}(n;z) \equiv Z_{\eta,A}(n;z) \mod P^{n_1}A[z_1,\dots,z_r]$ 를 만족하며, 이는 글로벌 형태와의 호환성을 보여준다.