[논문 리뷰] Twisted products and $SO(p) imes SO(q)$-invariant special Lagrangian cones

Mark Haskins, Nikolaos Kapouleas|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 새로운 비틀린 곱 구조를 사용하여 ℂ^{p+q} 내 SO(p)×SO(q)-불변 특수 라그랑주 원뿔을 구성하며, 이는 이전의 SO(2)-불변 예제를 일반화한다. 주요 기여는 n≥4인 경우 특수 라그랑주 및 해밀토니안 정적 원뿔의 무한한 위상형식의 집합이 존재하며, n≥6인 경우 임의로 높은 차원의 연속적인 가중치를 가진 무한한 가중치 가중치를 가짐을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We construct $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant special Lagrangian (SL) cones in $\C^{p+q}$. These SL cones are natural higher-dimensional analogues of the $\sorth{2}$-invariant SL cones constructed previously by MH and used in our gluing constructions of higher genus SL cones in $\C^{3}$. We study in detail the geometry of these $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant SL cones, in preparation for their application to our higher dimensional special Legendrian gluing constructions. In particular the symmetries of these cones and their asymptotics near the spherical limit are analysed. All $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant SL cones arise from a more general construction of independent interest which we call the special Legendrian twisted product construction. Using this twisted product construction and simple variants of it we can construct a constellation of new special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$. We prove the following theorems: A. there are infinitely many topological types of special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$ for all $n\ge 4$, B. for $n\ge 4$ special Lagrangian and Hamiltonian stationary torus cones in $\C^{n}$ can occur in continuous families of arbitrarily high dimension and C. for $n\ge 6$ there are infinitely many topological types of special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$ that can occur in continuous families of arbitrarily high dimension.

연구 동기 및 목표

• 교정 기하학에서 기하학적 PDE 접합 방법을 위한 고차원 빌딩 블록을 구성하기.
• ℂ^3 내 SO(2)-불변 특수 라그랑주 원뿔을 p,q≥1인 ℂ^{p+q} 내 SO(p)×SO(q)-불변 원뿔으로 일반화하기.
• 미래의 접합 구조를 위한 구조 분석을 위해 원뿔의 구형 극한 근처에서의 대칭성과 점점 가까워지는 행동을 분석하기.
• 특수 레이지안드로닉 및 라그랑주 원뿔에 대한 일반적인 비틀린 곱 구조를 수립하여 독립적인 기하학적 관심을 가짐.
• ℂ^n 내 특수 라그랑주 및 해밀토니안 정적 원뿔의 무한한 가중치 집합이 존재함을 입증하기 (n≥4), n≥6인 경우 고차원 모듈리 공간을 가짐.

제안 방법

• ℂ^{p+q} 내 SO(p)×SO(q)-불변 특수 라그랑주 원뿔을 생성하기 위해 '특수 레이지안드로닉 비틀린 곱'이라는 새로운 기하학적 구조를 도입하기.
• 등변 미분기하학과 대칭성 감소를 사용하여 원뿔 기하학에서 SO(p)×SO(q) 작용을 분석하기.
• 기하학적 분석과 캘리브레이션 이론을 활용하여 원뿔의 구형 극한 근처에서의 점점 가까워지는 행동을 연구하기.
• 비틀린 곱 구조를 적용하여 ℂ^n 내 새로운 특수 라그랑주 및 해밀토니안 정적 원뿔의 예를 생성하기.
• 캘리브레이션 형식 Re(Ω)를 보존하거나 반전시키는 등급을 갖는 등급의 구조를 활용하여 원뿔의 대칭성을 분류하기.
• SO(p)×SO(q)-불변 원뿔이 특수 라그랑주 조건에서 유도된 감소된 PDE 시스템의 해로 나타남을 이용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 p,q≥1에 대해 ℂ^{p+q} 내 SO(p)×SO(q)-불변 특수 라그랑주 원뿔을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 원뿔들의 구형 극한 근처에서의 점점 가까워지는 기하학적 성질은 무엇인가?
• RQ3 이 원뿔들의 대칭성은 환경 캘리브레이션 양공간의 등급군과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 비틀린 곱 구조는 고차원에서 새로운 특수 라그랑주 및 해밀토니안 정적 원뿔의 가중치를 생성할 수 있는가?
• RQ5 ℂ^n 내 이러한 원뿔들의 공간의 위상적 및 모듈리 이론적 구조는 무엇인가? (n≥4)

주요 결과

• 논문은 모든 p,q≥1에 대해 ℂ^{p+q} 내 SO(p)×SO(q)-불변 특수 라그랑주 원뿔을 구성하며, 이는 이전의 SO(2)-불변 예제를 일반화한다.
• 비틀린 곱 구조는 ℂ^n 내 특수 라그랑주 및 해밀토니안 정적 원뿔을 생성하는 새로운 방법을 제공한다.
• n≥4인 경우, ℂ^n 내 특수 라그랑주 및 해밀토니안 정적 원뿔의 무한한 위상형식의 집합이 존재한다.
• n≥6인 경우, 이러한 원뿔의 무한한 위상형식의 집합이 임의로 높은 차원의 연속적인 가중치를 가짐을 보여준다.
• n≥4인 경우, 특수 라그랑주 및 해밀토니안 정적 토러스 원뿔이 임의로 높은 차원의 연속적인 가중치를 가짐을 보여준다.
• 원뿔의 등급군은 특수 라그랑주 및 반-특수 라그랑주 등급을 모두 포함하며, 후자는 캘리브레이션 형식 Re(Ω)를 반전시킨다.