[논문 리뷰] Two-dimensional QCD on the sphere and on the cylinder

Michele Caselle, A. D’Adda외 2명|ArXiv.org|1993. 09. 20.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 2인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 카자코프-미그달 행렬 모형에 영감을 얻은 이중성, 역결합 전개를 통해 구면과 원통 위의 2차원 QCD를 수립한다. 여기서 행렬 장의 고유값은 원 위의 서더랜드 페르미온을 나타낸다. 반정수의 대칭성 분포에 대해 대규모 N 근사에서 분할함수와 이츠이크슨-지버 적분의 극한을 유도하며, 이는 구면에서의 도울라스-카자코프 전이와 유사한 상전이를 드러낸다. 이 전이는 고유값 반경이 π를 초과할 때 원통에서도 발생한다.

ABSTRACT

The partition functions of QCD2 on simple surfaces admit representations in terms of exponentials of the inverse coupling, that are modular transforms of the usual character expansions. We review the construction of such a representation in the case of the cylinder, and show how it leads to a formulation of QCD2 as a $c=1$ matrix model of the Kazakov-Migdal type. The eigenvalues describe the positions of $N$ Sutherland fermions on a circle, while their discretized momenta label the representations in the corresponding character expansion. Using this language, we derive some new results: we give an alternative description of the Douglas-Kazakov phase transition on the sphere, and we argue that an analogous phase transition exists on the cylinder. We calculate the large $N$ limit of the partition function on the cylinder with boundary conditions given by semicircular distributions of eigenvalues, and we find an explicit expression for the large $N$ limit of the Itzykson-Zuber integral with the same boundary conditions. (Talk given at the ``Workshop on high energy physics and cosmology'' at Trieste, July 1993.)

연구 동기 및 목표

• 구면과 원통 위의 QCD2 분할함수에 대해 표준 특성 전개와 보완되는 이중성, 역결합 전개를 개발한다.
• QCD2가 원통 위에 존재할 때, 고유값이 원 위에 제약을 받는 카자코프-미그달 유형의 c=1 행렬 모형과의 등가성을 확립한다.
• 원통 위의 QCD2 커널의 대규모 N 근사를 분석한다. 고유값 경계 조건이 반원형 분포일 경우를 대상으로 한다.
• 구면에서의 도울라스-카자코프 전이와 유사한 상전이를 원통에서 식별하고 특성화한다.
• 동일한 경계 조건 하에서 대규모 N 근사에서 이츠이크슨-지버 적분의 명시적 표현을 유도한다.

제안 방법

• 모듈러 이중성을 사용하여 QCD2 분할함수를 역결합의 지수로 표현함으로써, 표준 특성 전개와 대칭적인 이중 전개를 확립한다.
• QCD2를 원통 위에서 고유값이 원 위에 있는 1차원 카자코프-미그달 모형으로 매핑함으로써, 서더랜드 페르미온을 표현한다.
• 다스-예빅키 해밀토니안과 호프 방정식을 적용하여 고유값 밀도의 시간 진화를 기술한다.
• 반원형 초기/최종 분포 조건 하에서 미분방정식 r̈ + 4/r³ = 0을 통해 고유값 반경 r(t)의 고전적 궤적을 해석한다.
• 궤적을 따라 계산된 고전적 작용 S_class를 이용하여 대규모 N 분할함수를 exp(-N²S_class)로 결정한다.
• 마티츠린의 고유값 진동 결과를 활용하여 해를 일반화하고 임의의 경계 조건에 대해 대규모 N 근사에서 이츠이크슨-지버 적분을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 QCD에서 구면에서의 도울라스-카자코프 전이와 유사한 상전이가 원통에서도 발생하는가?
• RQ2 경계에서 고유값 분포가 반원형일 경우 원통 위의 QCD2 분할함수의 대규모 N 근사는 무엇인가?
• RQ3 대규모 N 근사에서 서더랜드 모형의 역학에 따라 고유값 밀도는 시간에 따라 어떻게 진화하는가?
• RQ4 이중 전개를 사용하여 반원형 고유값 분포 조건 하에서 대규모 N 근사에서 이츠이크슨-지버 적분을 계산할 수 있는가?
• RQ5 고유값 반경이 π를 초과할 때 원통에서 상전이를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 최대 고유값 반경 r(t)가 π에 도달할 때 원통에서 상전이가 발생하며, 이는 구면에서의 도울라스-카자코프 전이와 유사하다.
• 원통 위의 QCD2 커널의 대규모 N 근사는 exp(-N²S_class)로 주어지며, 여기서 S_class는 고유값 궤적을 따라 계산된 고전적 작용이다.
• 고유값 반경은 r(t) = 2√[(t+α)(β−t)/(α+β)]로 진화하며, α와 β는 경계 조건 r(0)=γ₀와 r(𝒜)=γ₁에 의해 결정된다.
• 고유값 밀도의 해는 f(λ,t) = v(λ,t) + iπρ(λ,t) 조건을 만족하며, 이는 다스-예빅키 해밀토니안과의 일관성을 확인한다.
• 반원형 고유값 분포 조건 하에서 대규모 N 근사에서 이츠이크슨-지버 적분의 근사는 (1/N²)ln I_IZ = -1/2 ln(1/2 + ½√(1 + γ₀²γ₁²/4)) - ½(1 - √(1 + γ₀²γ₁²/4)) + O(1/N)로 주어진다.
• γ₀ = γ₁일 경우 이 식은 그로스(1993)의 결과로 간소화되며, 문헌에 알려진 결과와의 일致성을 확인한다.