[논문 리뷰] Two Forms of Proximal Physical Geometry. Axioms, Sewing Regions Together, Classes of Regions, Duality, and Parallel Fibre Bundles

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 영역, 점이 아닌 기본 요소로 삼는 두 가지 형태의 근접 물리 기하학—강한 근접성과 묘사적 근접성—을 제안한다. 영역은 Rⁿ에 매핑되는 특징 벡터로 묘사되며, 근접성 관계(묘사적 근접성과 강한 근접성 포함)가 적용되고 영역 기반 기하학을 위한 공리가 수립된다. 주요 기여는 영역 기반의 Borsuk-Ulam 정리와 스트링 및 월드시트에 대한 와이어드 프렌드 정리로, 기하학적 구조가 특징 공간의 固定点과 연결된다.

ABSTRACT

This paper introduces two proximal forms of Lenzen physical geometry, namely, an \emph{axiomatized strongly proximal physical geometry} that is built on simplicial complexes with the dualities and sewing operations derived from string geometry and an \emph{axiomatized descriptive proximal physical geometry} in which spatial regions are described based on their features and the descriptive proximities between regions. This is a computational proximity approach to a Lenzen geometry of physical space. In both forms of physical geometry, region is a primitive. Intuitively, a region is a set of connected subregions. The primitive in this geometry is \emph{region}, instead of \emph{point}. Each description of a region with $n$ features is a mapping from the region to a feature vector in $\mathbb{R}^n$. In the feature space, proximal physical geometry has the look and feel of either Euclidean, Riemannian, or non-Euclidean geometry, since we freely work with the relations between points in the feature space. The focus in these new forms of geometry is the relation between individual regions with their own distinctive features such as shape, area, perimeter and diameter and the relation between nonempty sets of regions. The axioms for physical geometry as well as the axioms for proximal physical geometry are given and illustrated. Results for parallel classes of regions, descriptive fibre bundles and BreMiller-Sloyer sheaves are given. In addition, a region-based Borsuk-Ulam Theorem as well as a Wired Friend Theorem are given in the context of both forms of physical geometry.

연구 동기 및 목표

• 영역, 점이 아닌 기본 요소로 삼는 영역 기반 물리 기하학을 개발하기 위해.
• 강한 근접성 기반(단체 복합체와 강한 겹침 기반) 및 묘사적 근접성 기반(특징 묘사 및 묶음 근접성 기반)의 두 가지 형태의 근접 물리 기하학을 체계화하기 위해.
• 봉제 연산, 이중성, 피브어 번들 구조를 포함하는 두 형태의 공리 체계를 수립하기 위해.
• 영역 기반 기하학 프레임워크 내에서 새로운 정리—Borsuk-Ulam 정리와 와이어드 프렌드 정리—를 도입하고 증명하기 위해.
• 특징 벡터 매핑과 스트링 및 월드시트와 같은 위상적 구조를 통해 계산적 근접성과 물리 기하학을 통합하기 위해.

제안 방법

• 특징 벡터 Φ를 통해 Rⁿ에 매핑되는 n-특징 묘사를 가진 영역을 기본 요소로 정의한다.
• 강한 근접성 δ̂를 사용하여 강한 근접성 기하학에서 영역 간의 겹침(공통 경계가 있는 비공집합 교차)을 모델링한다.
• 공통된 특징 벡터를 기반으로 한 묶음 근접성 δΦ를 도입하여 특징 기반 영역 관계를 가능하게 한다.
• k-단체(정점, 선분, 삼각형, 유클리드 단체)에서 단체 복합체를 구성하고 볼록 hull을 적용하여 유계 영역을 정의한다.
• 비영인 폭을 가진 공간 경로로 스트링을 모델링하고 월드시트를 스트링으로 완전히 덮는 영역으로 정의하며, 덮개 및 포함 공리 체계를 적용한다.
• 피브어 번들 및 셰이프 구조(예: Bremer-Sloyer 셰이프)를 적용하여 공통된 특징을 가진 영역의 구조적 집합을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리 기하학은 점이 아닌 영역을 기본 요소로 삼을 경우 어떻게 재구성될 수 있는가?
• RQ2 단체 복합체와 이중성 기반의 강한 근접성 물리 기하학을 지지하는 공리 체계는 무엇인가?
• RQ3 Rⁿ에 있는 특징 벡터를 사용하여 묶음 근접성을 어떻게 체계화할 수 있는가?
• RQ4 '와이어드 프렌드'—고정된 특징 묘사를 가진 스트링 또는 월드시트가 영역에 임베딩된 경우—의 기하학적 및 위상적 의미는 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크 내에서 고전적 정리(예: Borsuk-Ulam)의 영역 기반 유사체를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 영역 기반 Borsuk-Ulam 정리가 수립되었으며, 이는 임의의 연속 함수가 영역에 정의될 경우, 동일한 특징 묘사를 가진 반대 영역 쌍이 존재함을 보여준다.
• 스트링 와이어드 프렌드 정리는 k개의 특징을 가진 모든 스트링이 특징 공간의 반지름 r > 0인 구 Br,k 내에 고정점으로 매핑됨을 증명한다.
• 월드시트 와이어드 프렌드 정리는 이 결과를 월드시트로 확장하여, k개의 특징을 가진 월드시트가 특징 공간 Rᵏ 내의 구 Br,k ⊂ Rᵏ에 고정된 묘사 g(wshA)로 매핑됨을 보여준다.
• 역타원 함수 m(q)로 정의된 나선형 영역의 집합은 묶음 근접성 클래스 R_reA를 형성하며, 이는 유사한 곡률과 특징 프로파일을 공유한다.
• 구멍은 내부를 통해 묘사되며, 특징 매핑 Φ에 의해 Rⁿ로 매핑됨을 보여, 위상적 빈 공간조차도 묘술 가능함을 확인한다.
• 동일한 가장자리 색상(예: 초록색)을 가진 닫힌 동심 영역은 묶음 근접함을 보이며, RGB 가장자리 특징이 일치할 경우 reA δΦ reE로 나타남을 입증하였다.