[논문 리뷰] Two ways of obtaining infinitesimals by refining Cantor's completion of the reals

Paolo Robuffo Giordano, Mikhail G. Katz|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 16.

Mathematical and Theoretical Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 코시 수열을 통한 실수의 캔터 완비화를 두 가지 방식으로 개선하여 무한소를 포함하는 연속체를 구성한다: 하나는 초수체를 통해 역으로 정의된 무한소를 얻고, 다른 하나는 위상적 구성으로 영벡터 무한소를 생성한다. 주요 기여는 이러한 두 접근 방식을 공식적이고 직관적으로 비교하여 그들 간의 상호 상충 관계를 부각시키는 데 있다.

ABSTRACT

Cantor's famous construction of the real continuum in terms of Cauchy sequences of rationals proceeds by imposing a suitable equivalence relation. More generally, the completion of a metric space starts from an analogous equivalence relation among sequences of points of the space. Can Cantor's relation among Cauchy sequences of reals be refined so as to produce a Cauchy complete and infinitesimal-enriched continuum? We present two possibilities: one leads to invertible infinitesimals and the hyperreals; the other to nilpotent infinitesimals (e.g. h nonzero infinitesimal such that h^2=0) and Fermat reals. One of our themes is the trade-off between formal power and intuition.

연구 동기 및 목표

• 캔터의 실수 코시 수열에 대한 동치관계가 비영인 영수열을 실제 무한소로 유지하도록 정교화될 수 있는가를 탐구한다.
• 코시 완비성을 유지하면서 실수를 무한소 원소로 확장하는 두 가지 다른 무한소를 포함하는 연속체의 구성 방식을 비교한다.
• 비아르키메데스적 실수 확장에서 공식적 강력성(초수체의 경우)과 직관적 명료성(페르마 실수의 경우) 간의 상호 상충 관계를 분석한다.
• 새로운 공리계를 도입하기 이전에 무한소 확장을 기초적으로 이해하고, 초곱 구성과 대체적인 위상적 접근 방식을 강조한다.

제안 방법

• 코시 수열에 대한 캔터의 동치관계를 '지배하는' 인덱스 집합을 기반으로 하는 새로운 동치관계로 정교화하여, 두 수열이 근원적으로 일치하는 집합(코피니트이거나 초필터 유사 성질을 만족하는 집합)에서 일치하면 동치로 간주한다.
• 초필터를 통한 초수체 연속체 ${}^{*}{\bb R}_{\text{f}}$를 구성하여 역으로 정의된 무한소를 갖는 체를 얻고, 점별 연산을 통해 대수적 구조를 유지한다.
• 수열의 점근적 근원(germ) 기반의 위상적 접근을 통해 페르마 실수 연속체 ${{}^{\bullet}{\bb R}}$를 정의하며, 여기서 무한소는 $h^2 = 0$을 만족하여 영벡터 무한소가 된다.
• 각 동치류에 그 극한값을 할당하는 표준 부분 사상 $\text{st}: {}^{*}{\bb R}_{\text{f}} \to {\bb R}$를 도입하여 고전적 극한 과정을 일반화한다.
• 두 구성 모두에 대해 전이 원칙을 확립하여, 열린 집합을 포함하는 논리 공식이 확장 함자 ${}^{*}(-)$ 및 ${}^{\bullet}(-)$에 대해 유지됨을 보인다.
• 페르마 위상을 사용하여 내부 집합을 정의하고, 열린 집합의 확장이 라이프니츠의 연속성 법칙과 유사하게 존재 기호와 전칭 기호를 유지함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캔터의 실수 코시 수열에 대한 동치관계는 일부 영수열이 비영이 되도록 정교화될 수 있는가? 즉, 실제로 무한소를 생성할 수 있는가?
• RQ2 역으로 정의된 무한소를 갖는 연속체(초수체)와 영벡터 무한소를 갖는 연속체(페르마 실수) 사이의 구조적 및 기초적 차이점은 무엇인가?
• RQ3 해석학과 미분기하학의 맥락에서 두 구성의 공식적 강력성과 직관적 명료성은 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ4 양의 무한소를 포함하는 확장으로부터 논리적 성질, 예를 들어 기호 보존 및 연속성은 표준 실수에서 얼마나 잘 전이될 수 있는가?
• RQ5 무한소를 포함하는 연속체의 구성은 집합론적 공리(예: 선택 공리)에 의존하지 않고도 구축 가능한 구성적이고 직관적인 프레임워크에 기반시킬 수 있는가?

주요 결과

• 초필터를 통한 초수체 구성은 역으로 정의된 무한소를 갖는 체를 생성하여, 전체 대수적 닫힘을 유지하는 강력한 비표준 해석학 프레임워크를 제공한다.
• 페르마 실수 구성은 $h^2 = 0$을 만족하는 영벡터 무한소를 갖는 링을 생성하여, 전통적인 비표준 해석학에 비해 더 직관적이고 기하학적으로 유도된 대안을 제공한다.
• 표준 부분 사상 $\text{st}: {}^{*}{\bb R}_{\text{f}} \to {\bb R}$ 는 잘 정의되어 있으며 연속적이며, 각 초수체에 대해 그 극한 실수 값을 할당한다.
• 전이 원칙은 두 구성 모두에 대해 성립한다: 열린 집합을 포함하는 논리 공식은 확장 함자 ${}^{*}(-)$ 및 ${}^{\bullet}(-)$에 대해 유지되며, 라이프니츠의 연속성 법칙을 일반화한다.
• 페르마 확장 함자 ${}^{\bullet}(-)$는 열린 집합에 대해 존재 기호와 전칭 기호를 모두 보존하여, $\forall a \in A \, \exists b \in B \, C(a,b)$ 와 같은 문장이 확장된 환경으로 유일하게 전이됨을 보장한다.
• 페르마 실수의 구성은 매끄러운 다양체와 함수 공간의 자연스러운 확장을 가능하게 하며, 미분기하학 및 매끄러운 함수 공간의 분석에 적용 가능하다.