[论文解读] Type A Distributions: Infinitely Divisible Distributions Related to Arcsine Density

Makoto Maejima, Víctor Pérez‐Abreu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入了类型 A 分布作为 R^d 上一类新的无限可分分布，通过使用余弦函数 cos(πt/2) 对 Lévy 过程进行随机积分来定义。主要贡献在于证明了类型 A 分布是 Lévy 均值在两个基于 arcsine 的变换 𝒜₁ 和 𝒜₂ 下的像，这两个变换具有相同的值域，并且包含 Jurek 类作为其真子类。该类还通过随机积分映射与广义类型 G 分布建立了联系。

ABSTRACT

Two transformations $\mathcal{A}_{1}$ and $\mathcal{A}_{2}$ of Lévy measures on $\mathbb{R}^{d}$ based on the arcsine density are studied and their relation to general Upsilon transformations is considered. The domains of definition of $\mathcal{A}_{1}$ and $\mathcal{A}_{2}$ are determined and it is shown that they have the same range. Infinitely divisible distributions on $\mathbb{R}^{d}$ with Lévy measures being in the common range are called type $A$ distributions and expressed as the law of a stochastic integral $\int_0^1\cos (2^{-1}πt)dX_t$ with respect to Lévy process $\{X_t\}$. \ This new class includes as a proper subclass the Jurek class of distributions. It is shown that generalized type $G$ distributions are the image of type $A$ distributions under a mapping defined by an appropriate stochastic integral. $\mathcal{A}_{2}$ is identified as an Upsilon transformation, while $\mathcal{A}_{1}$ is shown to be not.

研究动机与目标

• 定义并表征 R^d 上一类新的无限可分分布，称为类型 A 分布，其基于 arcsine 密度。
• 研究基于 arcsine 密度的 R^d 上 Lévy 测度的两个变换 𝒜₁ 和 𝒜₂，确定其定义域和值域。
• 证明两个变换的值域相同，并且包含 Jurek 类 U(R^d) 作为其真子类。
• 建立类型 A 分布的随机积分表示，即 ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ) 的分布，其中 Xₜ^(μ) 是 Lévy 过程。
• 通过随机积分映射探索类型 A 分布与广义类型 G 分布之间的关系。

提出的方法

• 使用 arcsine 密度 a(x;s) = π⁻¹(s − x²)⁻¹/²（当 |x| < s¹/² 时）定义 R^d 上 Lévy 测度的两个变换 𝒜₁ 和 𝒜₂。
• 证明 𝒜₁ 的定义域为 ℳᴸ¹(R^d)，𝒜₂ 的定义域为 ℳᴸ²(R^d)，且它们的值域相同。
• 确立类型 A 分布为那些其 Lévy 测度属于 𝒜₁ 和 𝒜₂ 共同值域的无限可分分布。
• 将类型 A 分布表示为随机积分 ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ) 的分布，其中 Xₜ^(μ) 是分布为 μ ∈ I(R^d) 的 Lévy 过程。
• 识别 𝒜₂ 为 Upsilon 变换，并证明 𝒜₁ 不是。
• 证明广义类型 G 分布类是类型 A 分布在随机积分映射 Φ_cos 下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R^d 上，基于 arcsine 的两个变换 𝒜₁ 和 𝒜₂ 的定义域和值域是什么？
• RQ2 变换 𝒜₁ 和 𝒜₂ 如何与一般的 Upsilon 变换框架相关联？
• RQ3 类型 A 分布在 R^d 上的随机积分表示是什么？
• RQ4 类型 A 分布类与 Jurek 类 U(R^d) 有何关系？
• RQ5 类型 A 分布与广义类型 G 分布之间存在何种关系？

主要发现

• 变换 𝒜₁ 和 𝒜₂ 的值域相同，记为 ℛ(𝒜ₖ)，其定义域分别为 ℳᴸ¹(R^d) 和 ℳᴸ²(R^d)。
• R^d 上的类型 A 分布类被定义为那些其 Lévy 测度属于 ℛ(𝒜ₖ) 的无限可分分布，并通过随机积分表示 ∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ) 来表征。
• 类 A(R^d) 等于 Φ_cos(I(R^d))，其中 Φ_cos(μ) = ℒ(∫₀¹ cos(πt/2) dXₜ^(μ))。
• 广义类型 G 分布的 Lévy 测度类是 B(R^d) ∩ ℳᴸ¹(R^d) 在变换 𝒜₁ 下的像。
• 变换 𝒜₂ 被识别为 Upsilon 变换，而 𝒜₁ 不是。
• 构造了 ℛ(𝒜ₖ) 类中 Lévy 测度的显式例子，如 ν(dx) = 2⁻¹π⁻¹/² e⁻ˣ²/⁸ K₀(x²/8) 1_{(0,∞)}(x) dx，其对应于特定 ρ ∈ ℳᴸ¹(R) 的 𝒜₁(ρ)。