[논문 리뷰] Type III and spectral triples

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|2006. 09. 25.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 6인용 수 75

한 줄 요약

이 논문은 표준 스펙트럴 트리플이 적용되지 않는 타입 III 원소로의 비가환 기하학의 확장을 위해, 대수적 자동형사상을 사용해 교환자 조건을 변형한 꼬인 스펙트럴 트리플 프레임워크를 제안한다. 주요 결과는 채르ン 기여와 인덱스 페어링이 여전히 꼬이지 않은 순환 코hom로 유지되며, 이는 국소 인덱스 공식이 타입 III 설정으로 확장될 수 있음을 의미한다. 이는 차원이 1인 폴로니에이션의 횡방향 기하학에 대해 입증되었다.

ABSTRACT

We explain how a simple twisting of the notion of spectral triple allows to incorporate type III examples, such as those arising from the transverse geometry of codimension one foliations. Since the twisting of the commutators turns the usual hypertrace constructed out of the Dixmier trace into a twisted trace on the coordinate algebra, one would be tempted to interpret that as a manifestation of twisting at the level of cyclic cohomology, akin to that introduced by the authors in the context of Hopf cyclic cohomology. The main point of this note, besides giving simple natural examples of the general notion and developing the first basic steps of the theory, is to show that contrary to the initial expectations no cohomological twisting is in fact required. The Chern character of finitely summable spectral triples extends to the twisted case, and lands in fact in ordinary (untwisted) cyclic cohomology. The same holds true for the local Hochschild character. The index pairing with ordinary (untwisted) K-theory continues to make sense and the index formula is still given by the pairing of the corresponding Chern characters. This opens the road to extending the local index formula, as well as the analogue of the hypoelliptic construction on the dual system together with the corresponding Thom isomorphism, to the context of twisted spectral triples of type III.

연구 동기 및 목표

• 표준 비가환 기하학에서 제외되는 타입 III 바나흐-폰 노이만 대수를 포함하도록 스펙트럴 트리플 프레임워크를 확장하는 것.
• 유한 합성 가능성과 딕스미에르 추적과 같은 인덱스 공식의 핵심 요소들이 타입 III에서 초월트레이스의 부재로 실패하는 문제를 해결하는 것.
• 꼬임 조건이 적용된 교환자 조건에도 불구하고 채르ン 기여와 인덱스 페어링이 꼬이지 않은 순환 코hom으로 잘 정의됨을 보여주는 것.
• 국소 인덱스 공식 및 관련 구성(예: 톰 동형, 초타원적 인덱스 이론)을 타입 III 예제로 확장하기 위한 기반을 마련하는 것.
• 특히 미분형사군과의 외적곱 대수를 통해, 차원이 1인 폴로니에이션의 횡방향 기하학에 대해 꼬인 프레임워크의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 대수 𝒜 위에서 자동형사상 σ를 도입하여 꼬인 스펙트럴 트리플을 정의하고, [D, a]σ = D a − σ(a) D 가 유계임을 요구하는 유계성 조건을 수정한다.
• 자기수반 h ∈ 𝒜 에 대해 σ(a) = e^{2h} a e^{-2h} 를 사용하여 꼬인 교환자 조건을 정의하며, 이는 디라크 연산자의 등각 스케일링에서 자연스럽게 유도된다.
• 유한 합성 가능한 꼬인 스펙트럴 트리플의 고전적 채르ン 기여가 꼬이지 않은 순환 코hom으로 맵핑됨을 보여주며, 이는 초기 기대와는 반대된다.
• 꼬이지 않은 K-이론과의 인덱스 페어링이 여전히 잘 정의되며, 채르ン 기여의 페어링을 통해 계산됨을 확립한다.
• 기호 계산법과 호모토피 기법을 사용하여 꼬인 채르ン 기여와 표준 기여를 연결하고, 변형에 대한 연속성과 불변성을 증명한다.
• Γ 가 방향을 유지하는 미분형사로 작용하는 C∞(S¹) ⋊ Γ 위의 횡방향 스펙트럴 트리플에 이 프레임워크를 적용하고, 국소 호흐시ลด 코호모로지 족을 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 비가환 기하학에서 제외되는, 추적을 갖지 않는 타입 III 원소를 포함하도록 스펙트럴 트리플의 개념을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 꼬인 스펙트럴 트리플의 채르ン 기여가 여전히 꼬이지 않은 순환 코hom으로 맵핑되는가? 이는 인덱스 공식의 구조를 유지하는가?
• RQ3 꼬인 스펙트럴 트리플을 사용하여 국소 인덱스 공식을 타입 III 예제로 확장할 수 있는가?
• RQ4 교환자 조건의 꼬임이 K-이론과의 인덱스 페어링에 어떤 영향을 미치며, 여전히 채르ン 기여 페어링을 통해 계산될 수 있는가?
• RQ5 꼬인 설정에서 국소 호흐시ลด 코호모로지 족의 명시적 형태는 무엇이며, 이는 폴로니에이션 이론에서 횡방향 기본류를 표현하는가?

주요 결과

• 유한 합성 가능한 σ-꼬인 스펙트럴 트리플의 채르ン 기여는 예상과는 달리 꼬이지 않은 순환 코hom으로 맵핑된다.
• 꼬이지 않은 K-이론과의 인덱스 페어링은 여전히 잘 정의되며, 표준 채르ン 기여 페어링을 통해 계산되며, 인덱스 공식의 구조를 유지한다.
• C∞(S¹) ⋊ Γ 위의 횡방향 스펙트럴 트리플에 대한 국소 호흐시ลด 코호모로지 족은 Ψ₁ = −2i τ + ℒδ τ 로 명시적으로 계산되며, 여기서 τ 는 순환 코호모로지이며 ℒδ 는 리 미분이다.
• 이 국소 코호모로지 족은 주기적 순환 코호모로지에서 횡방향 기본류 [S¹/Γ] 와 비례하는 클래스를 표현한다.
• 꼬인 스펙트럴 트리플 프레임워크는 모든 t ∈ ℝ 에 대해 |D|⁻ᵗ(|D|ᵗ a − σᵗ(a) |D|ᵗ) ∈ ℒ^{n,∞} 를 만족하여, 기호 계산법과의 호환성을 확보한다.
• 기호 계산법을 수정하여 표준 채르ン 기여와 꼬인 채르ン 기여 사이에 연속적인 호모토피를 정의할 수 있으며, 이는 구성의 일관성과 연속성을 확인한다.