[논문 리뷰] U-max-Statistics and Limit Theorems for Perimeters and Areas of Random Polygons

Elizaveta Koroleva, Ya. Yu. Nikitin|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 07.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 U-max-통계이론을 확장하여 단위원 내부에 내접하거나 외접하는 무작위 m각형의 최대 및 최소 둘레와 면적에 대한 점근적 정리들을 유도한다. 점근적 분석과 극값 이론을 통해, 외접하는 m각형의 재스케일링된 최대 둘레와 최소 면적이 특정 수렴 속도를 가진 Weibull 분포로 수렴함을 규명하였으며, m → ∞ 일 때 내접한 다각형의 최대 면적과 외접한 다각형의 최소 둘레에 대한 상수들 사이에 놀라운 점근적 동치가 존재함을 밝혀냈다.

ABSTRACT

Recently W. Lao and M. Mayer [6], [7], [9] considered $U$-max - statistics, where instead of sum appears the maximum over the same set of indices. Such statistics often appear in stochastic geometry. The examples are given by the largest distance between random points in a ball, the maximal diameter of a random polygon, the largest scalar product within a sample of points, etc. Their limit distribution is related to the distribution of extreme values. Among the interesting results obtained in [6], [7], [9] are limit theorems for the maximal perimeter and the maximal area of random triangles inscribed in a circumference. In the present paper we generalize these theorems to convex $m$-polygons, $m \geq 3,$ with random vertices on the circumference. Next, a similar problem is solved for the minimal perimeter and the minimal area of circumscribed $m$-polygons which has not been previously considered in literature. Finally, we discuss the obtained results when $m o \infty.$

연구 동기 및 목표

• 기존의 무작위 삼각형에 대한 최대 둘레 및 면적 결과를 m ≥ 3 인 볼록한 m각형으로 일반화한다.
• 이전에 탐색되지 않은 문제인, 외접하는 m각형의 최소 둘레 및 최소 면적에 대한 점근적 정리를 수립한다.
• Stirling의 근사 공식을 사용하여 m → ∞ 일 때의 극한 상수들의 점근적 행동을 분석한다.
• 내접 다각형의 최대 기능과 외접 다각형의 최소 기능에 대한 상수들 사이의 놀라운 점근적 동치를 규명한다.

제안 방법

• 단위원 위의 i.i.d. 점들에 대한 모든 m-튜플에 대해 대칭 핵함수의 최댓값으로서 U-max-통계를 수학적으로 정의한다.
• 꼬리 확률과 의존성 구조에 대한 특정 조건 하에서 Lao-Mayer 및 Silverman-Brown 정리를 적용하여 수렴 분포가 Weibull 법칙으로 수렴함을 도출한다.
• 최대 및 최소 기능에 대한 수렴 속도를 결정하는 극한 상수 K_{im} (i=1,2,3,4)에 대한 정확한 표현을 유도한다.
• Stirling의 공식을 사용하여 m → ∞ 일 때 감마 함수와 삼각함수 항들을 점근적으로 근사한다.
• 세부적인 점근적 분석을 수행하여 K_{2m} ∼ K_{3m} 및 K_{1m} ∼ K_{4m} 를 증명함으로써 놀라운 동치성을 규명한다.
• 재스케일링된 기능의 수렴 속도가 O(n^{-(m-1)/2}) 임을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n → ∞ 이고 m ≥ 3 일 때, 단위원 내부에 내접하는 무작위 m각형의 최대 둘레 및 면적의 극한 분포는 무엇인가요?
• RQ2 무작위 m각형이 단위원을 둘러싸는 외접 다각형일 때, 최소 둘레 및 최소 면적의 극한 분포는 무엇인가요?
• RQ3 이러한 극한 기능에 대한 상수들이 m → ∞ 일 때 어떻게 행동하는가요?
• RQ4 내접 다각형의 최대 기능과 외접 다각형의 최소 기능에 대한 상수들 사이에 놀라운 점근적 동치가 존재하는가요?
• RQ5 재스케일링된 극한 기능의 수렴 속도는 극한에서 어떻게 되는가요?

주요 결과

• 내접하는 m각형의 재스케일링된 최대 둘레는 누적 분포 함수 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{1m}} 를 가진 Weibull 법칙으로 수렴한다.
• 내접하는 m각형의 재스케일링된 최대 면적은 누적 분포 함수 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{2m}} 를 가진 Weibull 법칙으로 수렴한다.
• 외접하는 m각형의 재스케일링된 최소 둘레는 누적 분포 함수 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{3m}} 를 가진 Weibull 법칙으로 수렴한다.
• 외접하는 m각형의 재스케일링된 최소 면적은 누적 분포 함수 1 − exp{−t^{(m−1)/2}/K_{4m}} 를 가진 Weibull 법칙으로 수렴한다.
• m → ∞ 일 때, 점근적 상수들은 K_{2m} ∼ K_{3m} 및 K_{1m} ∼ K_{4m} 를 만족하며, 이는 내접 다각형의 최대 면적과 외접 다각형의 최소 둘레 사이에 놀라운 점근적 동치가 존재함을 시사한다.
• 모든 재스케일링된 기능의 수렴 속도는 O(n^{-(m-1)/2}) 이며, m 가 증가함에 따라 향상된다.