[논문 리뷰] U-Processes, U-Quantile Processes and Generalized Linear Statistics of Dependent Data

Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 27.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 절대 정규 과정에서 강한 혼합 또는 L¹ 근접 시점 의존성에 의한 약한 의존성 하에서, U-통계량, U-분위수, L-통계량을 포함한 일반선형(GL) 통계량에 대한 渐近 이론을 수립한다. 경험 U-과정이 가우시안 과정에 거의 확실히 근사됨을 증명함으로써, 이전 연구보다 더 약한 조건 하에서 강한 불변성 원리, 중심극한정리, 반복로그 로그 법칙을 위한 GL 통계량에 대한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Generalized linear statistics are an unifying class that contains U-statistics, U-quantiles, L-statistics as well as trimmed and winsorized U-statistics. For example, many commonly used estimators of scale fall into this class. GL-statistics only have been studied under independence; in this paper, we develop an asymptotic theory for GL-statistics of sequences which are strongly mixing or L^1 near epoch dependent on an absolutely regular process. For this purpose, we prove an almost sure approximation of the empirical U-process by a Gaussian process. With the help of a generalized Bahadur representation, it follows that such a strong invariance principle also holds for the empirical U-quantile process and consequently for GL-statistics. We obtain central limit theorems and laws of the iterated logarithm for U-processes, U-quantile processes and GL-statistics as straightforward corollaries.

연구 동기 및 목표

• 독립 데이터를 초월하여 약한 의존성 시계열로 일반선형 통계량의 渐近 이론을 확장하기 위해.
• 강한 혼합 또는 L¹ 근접 시점 의존성 하에서 경험 U-과정과 U-분위수 과정에 대한 강한 불변성 원리를 수립하기 위해.
• 이전 결과보다 더 약한 모멘트 및 의존성 조건 하에서 GL 통계량에 대한 중심극한정리와 반복로그 로그 법칙을 도출하기 위해.
• 의존성 하에서 Bahadur 표현을 U-분위수로 일반화하여 기능적 극한정리 가능성을 확보하기 위해.
• 약한 의존성 하에서 U-통계량, U-분위수, L-통계량, 잘라낸/윈소라이즈된 U-통계량을 통합하는 단일 asymptotic 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• U-통계량을 선형 및 비가역 성분으로 분리하기 위해 Hoeffding 분해를 사용한다.
• 강한 혼합 또는 L¹ 근접 시점 의존성 하에서 경험 U-과정이 가우시안 과정에 거의 확실히 근사됨을 적용한다.
• U-분위수 과정에 대해 일반화된 Bahadur 표현을 적용하여 경험 과정과 가우시안 과정을 연결한다.
• 기술적 조건을 부과한다: 세 번째 인자에 대해 유계이고 비감소하는 커널, U-분포 함수의 연속성, h에 대한 균일한 변동 조건.
• 가우시안 과정 근사 및 리프시츠 함수 맵핑을 통한 기능적 극한정리 적용.
• 핵심 h(x,y,t) = 1_{g(x,y) ≤ t}를 사용하여 경험 U-분포 함수를 t에 따라 인덱싱된 확률과정으로 간주한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 의존성 하에서 경험 U-과정에 대해 강한 불변성 원리가 성립할 수 있는가?
• RQ2 기초 시계열이 의존적일 경우 일반화된 Bahadur 표현이 U-분위수에 대해 성립하는가?
• RQ3 강한 혼합 또는 근접 시점 의존성 하에서 GL 통계량에 대해 중심극한정리와 반복로그 로그 법칙이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 약한 의존성 하에서 U-통계량의 渐近 이론을 U-분위수 및 L-통계량으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 더 약한 의존성 및 모멘트 조건 하에서 GL 통계량의 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 절대 정규 과정에서 강한 혼합 또는 L¹ 근접 시점 의존성 하에서 경험 U-과정이 가우시안 과정에 거의 확실히 근사됨이 성립한다.
• 경험 U-분위수 과정에 대한 강한 불변성 원리가 수립되었으며, 오차율은 거의 확실히 O(log⁻¹/³⁸⁴⁰ n)이다.
• 의존적 데이터에 대해 일반화된 Bahadur 표현을 U-분위수로 확장하여 기능적 극한정리 가능성을 확보하였다.
• U-과정, U-분위수 과정, GL 통계량에 대해 중심극한정리와 반복로그 로그 법칙이 추론 가능하다.
• 이전 결과보다 더 약한 조건 하에서 GL 통계량의 수렴 속도가 향상되었으며, 불변성 원리에서 명시적인 오차 경계가 제시되었다.
• 이론은 의존적 데이터 하에서 U-통계량, U-분위수, L-통계량, 잘라낸/윈소라이즈된 U-통계량을 통합하는 단일 渐近 프레임워크를 제공한다.