[论文解读] Unbounded quasitraces, stable finiteness and pure infiniteness

David Pask, Adam Sierakowski+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文将 Blackadar 和 Rørdam 关于拟迹的定理推广至实秩为零的 σ-酉精确 C*-代数，证明了 K₀(A) 上的每个加法正映射均可延拓为下半连续的 2-拟迹。该结果使得交叉积与 k-图 C*-代数的二分定理成为可能：若一个单的 k-图代数是酉的，则其要么是纯无穷的，要么是稳定有限的，具体取决于关联半群 S(Λ) 的几乎无穿孔性，且给出了基于 k-图结构的完整刻画。

ABSTRACT

We prove that if A is a σ-unital exact C*-algebra of real rank zero, then every state on K_0(A) is induced by a 2-quasitrace on A. This yields a generalisation of Rainone's work on pure infiniteness and stable finiteness of crossed products to the non-unital case. It also applies to k-graph algebras associated to row-finite k-graphs with no sources. We show that for any k-graph whose C*-algebra is unital and simple, either every twisted C*-algebra associated to that k-graph is stably finite, or every twisted C*-algebra associated to that k-graph is purely infinite. Finally we provide sufficient and necessary conditions for a unital simple k-graph algebra to be purely infinite in terms of the underlying k-graph.

研究动机与目标

• 将 Blackadar 和 Rørdam 关于拟迹的结果从酉代数推广至实秩为零的 σ-酉 C*-代数。
• 将 Rainone 关于稳定有限性与纯无穷性的二分结果推广至非酉情形。
• 利用与 k-图相关联的半群 S(Λ)，刻画单的酉 k-图 C*-代数为纯无穷或稳定有限的条件。
• 基于 k-图的组合结构，对 k-图代数的纯无穷性给出完整刻画。

提出的方法

• 通过证明：对于实秩为零的 σ-酉精确 C*-代数 A，K₀(A) 上的每个加法正映射均可延拓为下述连续的 2-拟迹，从而推广了 Blackadar-Rørdam 定理。
• 引入一个半群 S(Λ)，其元素为 k-图 Λ 的顶点集上具有有限支集的函数的等价类，该定义基于图的结构及一个 2-上循环。
• 利用半群 S(Λ) 建模关联 C*-动力系统的类型半群，将其与 Rainone 的框架联系起来。
• 应用纯化半群理论与几乎无穿孔性分析 S(Λ) 的结构，并推导出 k-图 C*-代数的性质。
• 利用 Riesz 纯化性质与弱比较性，刻画 S(Λ) 中的消去性与无穷性。
• 建立 S(Λ) 的几乎无穿孔性与 k-图 C*-代数的纯无穷性或稳定有限性之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 K₀(A) 上态射到拟迹的延拓从酉代数推广至实秩为零的 σ-酉 C*-代数？
• RQ2 在最小且适当外作用下，σ-酉 C*-代数的交叉积 C*-代数是否保持稳定有限性与纯无穷性之间的二分性？
• RQ3 在何种条件下，k-图 Λ 的关联 C*-代数是纯无穷或稳定有限的？
• RQ4 与 k-图相关联的半群 S(Λ) 是否足以确定其 C*-代数的分类为纯无穷或稳定有限？
• RQ5 若 S(Λ) 中存在无穷元素，是否意味着 S(Λ)* 是消去的？这与纯无穷性有何关联？

主要发现

• 对于实秩为零的 σ-酉精确 C*-代数 A，K₀(A) 上的每个加法正映射 β: K₀(A) → ℝ 均可延拓为 A 上的下述连续 2-拟迹，从而推广了 Blackadar 与 Rørdam 的酉代数结果。
• 对于实秩为零的 σ-酉精确 C*-代数 A，若其具有消去性，且在离散群 G 上有最小的适当外作用 σ，则交叉积 A ⋊σ,r G 是纯无穷的，当且仅当其无迹且非稳定有限。
• 在相同假设下，交叉积 A ⋊σ,r G 具有忠实的下述连续半有限迹权重，当且仅当其为稳定有限。
• 对于单的酉 k-图 C*-代数，其关联的每个扭曲 C*-代数要么全为稳定有限，要么全为纯无穷。
• 对于无源的行有限且共尾的 k-图 Λ，其关联的半群 S(Λ) 是几乎无穿孔的，当且仅当 C*-代数为纯无穷或稳定有限。
• 当 S(Λ) 是几乎无穿孔时，S(Λ)* 是消去的，且 k-图 C*-代数为纯无穷，当且仅当对所有非零 x, y ∈ S(Λ)，有 x ≤ y。