[논문 리뷰] Ungauging quantum error-correcting codes

Aleksander Kubica, Beni Yoshida|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 04.

Quantum many-body systems참고 문헌 1인용 수 54

한 줄 요약

본 논문은 Pauli CSS 양자 코드에 대한 게이징 및 언게이징 절차를 형식화하고, 이를 서브시스템 코드와 3D 게이징 색 코드에 적용하며, 이러한 구성들이 새로운 대칭 구조, SPT 위상, 및 MBQC 모델을 어떻게 유도하는지 보여준다.

ABSTRACT

We develop the procedures of gauging and ungauging, reveal their operational meaning and propose their generalization in a systematic manner within the framework of quantum error-correcting codes. We demonstrate with an example of the subsystem Bacon-Shor code that the ungauging procedure can result in models with unusual symmetry operators constrained to live on lower-dimensional structures. We apply our formalism to the three-dimensional gauge color code (GCC) and show that its codeword space is equivalent to the Hilbert space of six copies of $\mathbb{Z}_2$ lattice gauge theory with $1$-form symmetries. We find that three different stabilizer Hamiltonians associated with the GCC correspond to distinct thermal symmetry-protected topological (SPT) phases in the presence of the stabilizer symmetries of the GCC. One of the considered Hamiltonians describes the Raussendorf-Bravyi-Harrington model, which is universal for measurement-based quantum computation at non-zero temperature. We also propose a general procedure of creating $D$-dimensional SPT Hamiltonians from $(D+1)$-dimensional CSS stabilizer Hamiltonians by exploiting a relation between gapped domain walls and transversal logical gates. As a result, we find an explicit two-dimensional realization of a non-trivial fracton SPT phase protected by fractal-like symmetries.

연구 동기 및 목표

• CSS 안정자 및 서브시스템 코드의 게이징 및 언게이징을 체계적으로 위한 프레임 워크를 개발한다.
• 서브시스템 코드의 코드워드 공간을 언게이징으로 특징짓는다.
• 3D 게이징 색 코드에 프레임 워크를 적용하여 그 위상 구조와 대칭을 드러낸다.
• 프랙톤 fract-SPT 위상들이 프랙탈과 같은 대칭으로부터 유도될 수 있음을 입증한다.
• 갭이 있는 경계-wall를 이용한 (D+1)-차원 CSS 안정자 코드로부터 D차원 SPT 해밀토니안을 구성하는 일반적 방법을 제시한다.

제안 방법

• CSS 안정자 코드를 체인 복합체와 경계 매핑으로 표현하여 안정자와 신드롬 사이의 연결을 구축한다.
• 언게이징 맵 tilde Gamma를 Z-타입 대칭 부분공간과 등장하는 X-타입 대칭 부분공간 사이의 동등성 동사로 정의하고, Pauli 연산자에 대한 명시적 작용을 제시한다 (Z(c_Q) -> Z(partial_X c_Q), X(M_X c_X) -> X(c_X)).
• 등방-언게이징 체인 복합체 (C_Z, C_Q, C_X, C_R)와 경계 partial_Z, partial_X, partial_R을 사용하여 최종 큐비트와 등장 대칭을 결정한다.
• 예시로 토릭 코드의 언게이징과 2D Bacon-Shor 코드의 언게이징을 통해 저차원 고정 대칭 연산자들을 드러낸다.
• 3D 게이징 색 코드에 이 형식을 적용하여 코드워드 공간을 6개의 Z2 격자 게이저 이론에 1-형 대칭과 함께 매핑한다.
• 다양한 GCC 안정자 해밀토니언이 안정자 대칭 하에서 서로 다른 열화(열역학) SPT 위상에 대응하는 방법을 보이며, Raussendorf–Bravyi–Harrington 모델을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Pauli CSS 대칭성에 대한 게이징 및 언게이징의 정확한 작동 정의는 무엇인가? CSS 서브시스템 코드에서?
• RQ2 언게이징이 서브시스템 코드의 코드워드 공간을 등장하는 X-타입 대칭으로 정의된 공간으로 어떻게 변환하는가?
• RQ3 언게이징되지 않은 GCC 코드워드 공간의 구조는 어떠하며 GCC 안정자 해밀토니언은 1-형 대칭 하에서 어떤 SPT 위상으로 매핑되는가?
• RQ4 프랙톤 코드를 언게이징 및 갭이 있는 경계벽을 통해 프랙탈 대칭-보호 위상 위상을 구현하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ5 갭이 있는 경계 벽과 가로지르는 논리 게이트를 이용하여 (D+1)-차원 CSS 안정자 코드로부터 D차원 SPT 해밀토니안을 체계적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 2D Bacon-Shor의 언게이징은 X-타입 대칭에 의해 지배되는 저차원 제약 대칭 연산자로 이루어진 코드워드 공간으로 매핑한다.
• Z-타입 언게이징 하에서 GCC 코드워드 공간은 1-형 대칭 하에 여섯 개의 Z2 격자 게이지 이론과 동등하다.
• GCC로부터 도출된 서로 다른 안정자 해밀토니언은 GCC 안정자 대칭 하에서 서로 다른 열화 SPT 위상에 대응한다.
• GCC 관련 하나의 해밀토니언은 RBH 모델에 해당하며, 1-형 대칭 하에서의 열역학적 순서로 인해 비영(非영)온도에서의 측정 기반 양자 계산에 보편적이다.
• 갭이 있는 도메인 벽과 가로지르는 논리 게이트 간의 관계를 이용해 (D+1)-D CSS 안정자 코드로부터 D차원 SPT 해밀토니안 구성을 일반화하는 절차를 제안하며, 2D에서의 명시적 프랙탈-like frac-SPT 실현을 가능하게 한다.