[논문 리뷰] Uniform Positivity and Continuity of Lyapunov Exponents for a Class of $C^2$ Quasiperiodic Schrödinger Cocycles

Yiqian Wang, Zhenghe Zhang|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 18.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 디오판틴 주파수와 잠재력에서 비퇴도성 극값을 갖는 $C^2$ 준주기 슈뢰딩거 코시클에 대해 리아풀로프 지수의 균일한 양성과 약한 호일더 연속성을 확립한다. 점 渐진 안정/불안정 방향에 기반한 동역학 시스템 접근법을 사용하여, 큰 결합 상수에서 리아풀로프 지수는 에너지에 대해 균일하게 양성이고 연속적임을 증명한다. 이는 통합 밀도 상태 및 더 넓은 $
mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 코시클에 응용된다.

ABSTRACT

We show that for a class of $C^2$ quasiperiodic potentials and for any Diophantine frequency, the Lyapunov exponents of the corresponding Schrödinger cocycles are uniformly positive and weak Hölder continuous as function of energies. As a corollary, we also obtain that the corresponding integrated density of states (IDS) is weak Hölder continous. Our approach is of purely dynamical systems, which depends on a detailed analysis of asymptotic stable and unstable directions. We also apply it to more general $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ cocycles, which in turn can be applied to get uniform positivity and continuity of Lyapuonv exponents around unique nondegenerate extremal points of any smooth potential, and to a certain class of $C^2$ Szeg\H o cocycles.

연구 동기 및 목표

• 디오판틴 주파수와 잠재력에서 비퇴도성 극값을 갖는 $C^2$ 준주기 슈뢰딩거 코시클에 대해 리아풀로프 지수의 균일한 양성을 확립한다.
• 큰 결합 상수에서 에너지에 대한 리아풀로프 지수의 약한 호일더 연속성을 증명한다.
• 결과를 슈뢰딩거 유형을 초월한 더 일반적인 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 코시클로 확장하고 $C^2$ 셰고 코시클에 적용한다.
• 타울레스 공식을 통해 통합 밀도 상태(_IDS)의 연속성을 확립한다.

제안 방법

• 전이 행렬의 성장률을 제어하기 위해 코시클의 점 渐진 안정/불안정 방향을 분석한다.
• 스펙트럼 이론이나 KAM 유사 방법을 피하는 순수한 동역학 시스템 접근법을 사용한다.
• 행렬 노름을 통한 리아풀로프 지수의 정의 및 분석을 위해 가역적 에르고딕 정리의 응용을 사용한다.
• 역동학의 균일성과 정규성을 확보하기 위해 디오판틴 주파수 조건에 의존한다.
• 메비우스 코어지션을 통해 $\mathrm{SU}(1,1)$ 코시클을 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$로 변환하여 주요 결과를 적용한다.
• 분석에 적합한 형태로 잠재력을 변환함으로써 $C^2$ 셰고 코시클에 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디오판틴 주파수와 비퇴도성 극값을 갖는 $C^2$ 준주기 슈뢰딩거 코시클에 대해 리아풀로프 지수가 양수 상수로 균일하게 아래에서 유계일 수 있는가?
• RQ2 큰 결합 상수에서 리아풀로프 지수는 에너지에 대해 연속적인가? 만약 그렇다면, 어떤 연속성 모듈러스를 갖는가?
• RQ3 리아풀로프 지수에 대한 결과는 슈뢰딩거 유형을 초월한 더 일반적인 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 코시클로 확장될 수 있는가?
• RQ4 타울레스 공식을 통해 통합 밀도 상태(_IDS)는 리아풀로프 지수의 연속성 성질을 상속하는가?
• RQ5 이 방법을 사용하여 균일하게 양성인 리아풀로프 지수를 갖는 매끄러운 코시클의 예를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $\lambda_0 > 0$가 존재하여, 모든 $E \in \mathbb{R}$ 및 $\lambda \geq \lambda_0$에 대해 $L(E,\lambda) > (1 - \varepsilon)\log \lambda$가 성립하며, 이는 리아풀로프 지수의 균일한 양성성을 보여준다.
• 고정된 $\lambda > \lambda_1$에 대해, 리아풀로프 지수 $L(E)$는 에너지에 대해 약한 호일더 연속성이 있으며, $0 < \sigma < 1$에 대해 $Ce^{-c(\log|E - E'|^{-1})^\sigma}$ 형태의 모듈러스를 갖는다. 이는 강한 연속성을 암시한다.
• 통합 밀도 상태(_IDS) 역시 약한 호일더 연속성이며, 타울레스 공식과 리아풀로프 지수의 연속성에 기인한다.
• 잠재력에서 유일한 비퇴도성 극점이 존재하는 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 코시클로 결과가 확장되며, 슈뢰딩거 유형을 초월한 일반화가 이루어진다.
• 균일하게 양성인 리아풀로프 지수를 갖는 새로운 $C^2$ 셰고 코시클의 클래스가 구성되었으며, 이는 유사한 종류의 첫 번째 매끄러운 예가 된다.
• 디오판틴 주파수와 큰 결합 상수를 갖는 슈뢰딩거 연산자의 스펙트럼이, 집합의 limsup 및 liminf의 의미에서 주기적 근사자들의 스펙트럼의 극한임을 보여준다.