[논문 리뷰] Uniformly convex spiral functions and uniformly spirallike function associated with Pascal distribution series

G. Murugusundaramoorthy, Basem Aref Frasin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 15.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 해석적 단위원판 내에서 파스칼 분포 급수 및 관련 함수가 균일 스파イラ이크 함수와 균일 볼록 스파イラ이크 함수의 클래스에 속하기 위한 필요 및 충분 조건을 헤이드라드 곱과 계수 추정을 이용하여 조사한다. 주요 기여는 매개수 $\alpha$, $\beta$, $q$, $m$를 포함하는 명시적 부등식을 도출하여 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 및 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$에 속하는지 여부를 결정하는 것으로, 특히 파스칼 분포에서 유도된 함수와 그 적분 변환에 특별한 주목을 기울인다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to find the necessary and sufficient conditions and inclusion relations for Pascal distribution series to be in the classes SP_{p}(α,\b{eta}) and UCV_{p}(α,\b{eta}) of uniformly spirallike functions. Further, we consider properties of a special function related to Pascal distribution series. Several corollaries and consequences of the main results are also considered.

연구 동기 및 목표

• 파스칼 분포 급수 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 및 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$의 균일 스파イラ이크 및 균일 볼록 스파イラ이크 함수 클래스에 속하기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 파스칼 분포 급수와 경계 회전이 유계인 해석 함수의 클래스 $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ 사이의 포함 관계를 검토하는 것.
• 적분 변환 $\mathcal{G}_q^m(z) = \int_0^z \frac{\Phi_q^m(t)}{t} dt$의 성질을 분석하고, 동일한 함수 클래스에 속하는지 여부를 조사하는 것.
• 계수 추정과 부등식을 통해 일반화된 파스칼 급수와 기존의 단일함수 하위클래스 사이의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 단위원판 내에서 해석 함수와 파스칼 분포 급수 $\Psi_q^m(z)$의 헤이드라드 곱(코너벌루션)을 이용한다.
• 레마 1.2 및 1.3의 계수 조건을 적용하여 무한 급수 부등식을 통한 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ 및 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$에 속하는지의 여부를 특성화한다.
• $\mathcal{R}^\tau(A,B)$에서의 계수 한계 $|a_n| \leq (A-B)|\tau|/n$을 활용하여 포함 조건의 충분성을 도출한다.
• 생성함수 항등식과 이항정리의 응용을 통해 이항계수와 $q$의 거듭제곱을 포함하는 합의 닫힌 형태 표현을 유도한다.
• 문제를 $\binom{n+m-2}{m-1} q^{n-1} (1-q)^m$을 포함하는 급수의 수렴성 확인으로 전환하고, $\cos\alpha$ 및 $\beta$를 포함하는 임계값과 비교한다.
• 적분 변환을 통해 $\mathcal{G}_q^m(z)$를 정의하고, 동일한 계수 기준을 적용하여 함수 클래스에 속하는지 여부를 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개수 $\alpha$, $\beta$, $q$, $m$가 어떤 조건일 때 파스칼 분포 급수 $\Phi_q^m(z)$는 클래스 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$에 속하는가?
• RQ2 함수 $f \in \mathcal{R}^\tau(A,B)$에 대해 헤이드라드 곱 $\mathcal{I}_q^m f(z)$가 클래스 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$에 속하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 적분 변환 $\mathcal{G}_q^m(z)$가 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$에 속하기 위한 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ4 경계 $\beta = 0$일 경우, 고전적인 균일 스파イラ이크 및 볼록 스파イラ이크 클래스로 감소할 때 포함 결과는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 계수 제약 조건 측면에서 파스칼 분포 급수와 클래스 $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 함수 $\Phi_q^m(z)$는 다음 부등식이 성립할 때이고 그 때에만 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$에 속한다: $\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta$.
• 함수 $\Phi_q^m(z)$는 다음 부등식이 성립할 때이고 그 때에만 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$에 속한다: $\frac{2q^2 m(m+1)}{(1-q)^2} + (6 - \cos\alpha - \beta)\frac{q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta$.
• 만약 $f \in \mathcal{R}^\tau(A,B)$이면, $(A-B)|\tau|\left(\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m]\right) \leq \cos\alpha - \beta$일 때 $\mathcal{I}_q^m f \in \mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$이다.
• 적분 변환 $\mathcal{G}_q^m(z)$는 다음 부등식이 성립할 때이고 그 때에만 $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$에 속한다: $\Phi_q^m(z)$가 $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$에 속할 때의 부등식과 동일하며, 이때 $\beta = 0$이다.
• $m > 1$일 경우, $\mathcal{G}_q^m(z) \in \mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$이기 위한 필요 및 충분 조건은 다음과 같다: $2[1 - (1-q)^m] - \frac{\cos\alpha + \beta}{q(m-1)}[(1-q) - (1-q)^m - q(m-1)(1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta$.
• $\beta = 0$일 경우, 조건은 $\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha$로 단순화되며, 이는 $\Phi_q^m(z) \in \mathcal{TSP}_p(\alpha)$에 대해 동일한 형태로 적용된다.