[논문 리뷰] Universal expressiveness of variational quantum classifiers and quantum kernels for support vector machines

Jonas Jäger, Roman V. Krems|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $k$-Forrelation 문제를 활용하여 변분 양자 분류기(VQC)와 양자 커널 서포트 벡터 머신(QSVM)이 BQP 복잡도 클래스의 모든 문제에 대해 보편적 표현 능력을 갖출 수 있음을 보여준다. 이 문제는 PromiseBQP-완전하며, 이로 인해 이러한 모델이 BQP 문제를 효율적으로 해결할 수 있도록 하는 양자 커널 또는 특징 맵을 설계할 수 있다. 이는 고전적 능력 이상의 양자 우월성을 분류 작업에 적용할 잠재적 가능성을 시사한다.

ABSTRACT

Machine learning is considered to be one of the most promising applications of quantum computing. Therefore, the search for quantum advantage of the quantum analogues of machine learning models is a key research goal. Here, we show that variational quantum classifiers and support vector machines with quantum kernels can solve a classification problem based on the $k$-Forrelation problem, which is known to be PromiseBQP-complete. Because the PromiseBQP complexity class includes all Bounded-Error Quantum Polynomial-Time (BQP) decision problems, our results imply that there exists a feature map and a quantum kernel that make variational quantum classifiers and quantum kernel support vector machines efficient solvers for any BQP problem. Hence, this work implies that their feature map and quantum kernel, respectively, can be designed to have a quantum advantage for any classification problem that cannot be classically solved in polynomial time but contrariwise by a quantum computer.

연구 동기 및 목표

• 변분 양자 분류기(VQC)와 양자 커널 서포트 벡터 머신(QSVM)이 BQP 복잡도 클래스의 모든 문제를 해결할 수 있음을 입증하는 것.
• 이미 PromiseBQP-완전으로 알려진 $k$-Forrelation 문제를 적절한 양자 커널 또는 특징 맵을 사용하여 VQC와 QSVM이 효율적으로 해결할 수 있음을 보여주는 것.
• 고전적 컴퓨터가 다항 시간 내에 해결할 수 없는 문제들, 그러나 양자 컴퓨터가 해결할 수 있는 문제들에 대해 분류 작업에서의 양자 우월성이 이론적으로 달성 가능함을 보여주는 것.
• VQC와 QSVM가 BQP 문제를 보편적으로 해결할 수 있도록 하는 양자 커널 또는 특징 맵이 존재함을 구축적으로 증명하는 것.

제안 방법

• 저자는 $k$-Forrelation 문제를 사용하여 양자 기계 학습 모델의 기준 문제로 삼으며, 이 문제는 PromiseBQP-완전으로 입증된 바 있다.
• 저자는 $k$를 홀수 정수 $k \geq 3$로 제한하여, 홀수-$k$ Forrelation이 다항 시간 내에 짝수-$k$ Forrelation으로부터의 환원을 통해 여전히 PromiseBQP-완전임을 증명한다.
• 환원 과정은 $4\lceil n/2 \rceil - 1$개의 부울 함수(상수 함수 또는 $f(x) = (-1)^{x_i x_j}$ 형태)를 추가하여 짝수-$k$ 인스턴스를 홀수-$k$ 인스턴스로 변환하는 데 포함된다.
• 이 구성은 $\mathrm{H}^{\otimes 2}$, $\mathrm{CZ}$, 그리고 SWAP 연산을 포함하는 양자 회로 게이트를 사용하여, forrelation 값 $\Phi$ 를 유지하면서 총 함수 수를 홀수로 만든다.
• 변환 과정에서 $\Phi$ 가 유지됨으로써, $|0\rangle^{\otimes n}$ 상태에 대한 양자 회로의 진폭이 그대로 유지되어 문제의 약속 조건이 유지된다.
• 최종적으로 생성된 양자 회로는 VQC와 QSVM이 $k$-Forrelation 문제를 효율적으로 해결할 수 있도록 하는 특징 맵 또는 커널을 구현하며, 이는 BQP에 대한 보편적 표현 능력을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변분 양자 분류기(VQC)와 양자 커널 서포트 벡터 머신(QSVM)은 BQP 복잡도 클래스의 모든 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 PromiseBQP-완전으로 알려진 $k$-Forrelation 문제는 적절한 양자 커널 또는 특징 맵을 사용하여 VQC와 QSVM에 의해 해결될 수 있는가?
• RQ3 VQC와 QSVM가 BQP 문제에 대해 보편적 표현 능력을 갖추기 위해, 양자 커널 또는 특징 맵을 구성할 수 있는가?
• RQ4 홀수-$k$ Forrelation 문제는 일반적인 $k$-Forrelation 문제의 PromiseBQP-완전성 특성을 유지하는가?
• RQ5 추가적인 함수와 양자 회로 게이트를 사용하여 짝수-$k$ $k$-Forrelation 인스턴스를 홀수-$k$ 인스턴스로 변환할 때, forrelation 값 $\Phi$ 는 유지되는가?

주요 결과

• 홀수 $k$ 이고 $k \geq 3$ 일 때 $k$-Forrelation 문제는 짝수-$k$ 인스턴스로부터의 다항 시간 환원을 통해 PromiseBQP-완전임을 증명하였다.
• 짝수에서 홀수로의 변환 과정에서 forrelation 값 $\Phi$ 가 유지되어, 약속 조건($\Pi_+$의 경우 $\Phi \geq 3/5$, $\Pi_-$의 경우 $|\Phi| \leq 1/100$)이 유지된다.
• $4\lceil n/2 \rceil - 1$개의 부울 함수(상수 함수 및 $f(x) = (-1)^{x_i x_j}$ 포함)의 추가는 동일한 홀수-$k$ 인스턴스를 구성하면서 양자 진폭을 유지하는 데 기여한다.
• $\mathrm{H}^{\otimes 2}$, $\mathrm{CZ}$, SWAP 연산을 사용하는 양자 회로 게이트는 최종 회로가 원래 회로와 동치로 유지되며 $\Phi$ 를 보존함을 보장한다.
• 이 결과는 VQC와 QSVM이 어떤 BQP 문제라도 효율적으로 해결할 수 있도록 하는 양자 커널 또는 특징 맵이 존재함을 시사하며, 이는 BQP 문제에 대한 보편적 표현 능력을 확립한다.
• 이로 인해 $\text{P} \neq \text{BQP}$ 라는 가정 하에, 분류 작업에서의 양자 우월성이 이론적으로 입증되는 근거가 된다.