[논문 리뷰] Universal Rényi Entropy of Quasiparticle Excitations

Jiaju Zhang, M. A. Rajabpour|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 27.

Quantum many-body systems참고 문헌 55인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고립된 양자 many-body 시스템(페르미온, 보존, XY 체인 포함)의 준입자 상태에서 레니 엔트로피의 정확한 해석적 표현을 유도한다. 준입자 운동량 차이에 의존하는 보편적인 추가 항이 존재하며, 운동량이 가까울 경우에 유의미한 영향을 미친다. 이는 이전의 보편 결과를 확장하며, 고립 및 임계 영역에서 수치적으로도 타당성을 확인한다.

ABSTRACT

The Rényi entropies of quasiparticle excitations in the many-body gapped systems show a remarkable universal picture which can be understood partially by combination of a semiclassical argument with the quantum effect of (in)distinguishability. The universal Rényi entropies are independent of the model, the quasiparticle momenta, and the connectedness of the subsystem. In this letter we calculate exactly the single-interval and double-interval Rényi entropies of quasiparticle excitations in the many-body gapped fermions, bosons, and XY chains. We find additional contributions to the universal Rényi entropy in the excited states with quasiparticles of different momenta. The additional terms are different in the fermionic and bosonic chains, depend on the momentum differences of the quasiparticles, and are different for the single interval and the double interval. We derive the analytical Rényi entropy in the extremely gapped limit, matching perfectly the numerical results as long as either the intrinsic correlation length of the model or all the de Broglie wavelengths of the quasiparticles are small. When the momentum difference of any pair of distinct quasiparticles is small, the additional terms are non-negligible. On the contrary, when the difference of the momenta of each pair of distinct quasiparticles is large, the additional terms could be neglected. The universal single-interval Rényi entropy and its additional terms in the XY chain are the same as those in the fermionic chain, while the universal Rényi entropy of the double intervals and its additional terms are different, due to the fact that the local degrees of freedom of the XY chain are the Pauli matrices not the spinless fermions. We argue that the derived formulas have universal properties and can be applied for a wider range of models than those discussed here.

연구 동기 및 목표

• 고립된 양자 시스템에서 기저 상태를 넘어서 낮은 에너지 준입자 상태로의 보편적인 레니 엔트로피 이해를 확장하기 위해.
• 특히 운동량 차이가 작을 경우 레니 엔트로피가 준입자 운동량에 어떻게 의존하는지 조사하기 위해.
• 극도로 고립된 한계에서 페르미온, 보존, XY 체인의 단일 및 이중 간격 레니 엔트로피의 해석적 표현을 유도하기 위해.
• 이전에 알려진 보편 기여 이외의 추가 운동량에 의존하는 항이 엔트로피에 보편적으로 존재하는지 확인하기 위해.
• 다양한 모델과 매개변수 영역에서 정확한 수치 계산과의 비교를 통해 분석 결과의 타당성을 검증하기 위해.

제안 방법

• Rényi 엔트로피의 제곱 $\mathcal{F}_{A,\psi}^{(n)} = \mathrm{tr}_A \rho_{A,\psi}^n / \mathrm{tr}_A \rho_{A,G}^n $ 을 정의하며, 여기서 $\rho_{A,\psi}$ 는 흥분 상태의 축소 밀도 행렬이고 $\rho_{A,G}$ 는 기저 상태의 축소 밀도 행렬이다.
• 자유 페르미온 및 자유 보존 해밀토니안에서 정확한 대각화와 모드 분해를 사용하여 유한한 운동량을 가진 준입자 상태에서의 레니 엔트로피를 계산한다.
• 스핀-1/2 XY 체인을 2차 형식의 페르미온 모델로 매핑하기 위해 조르당-바이저 변환을 적용하여 흥분 상태에서 엔트로피를 정확하게 계산할 수 있도록 한다.
• 극도로 고립된 한계인 $\lambda \to \infty$ 에서 $\mathcal{F}_{A,\psi}^{(n)}$ 의 해석적 표현을 유도하며, 이는 보편 항과 운동량에 의존하는 보정 항을 모두 포함한다.
• 유한한 $\lambda$ 또는 $m$ 에서 정확한 수치 계산을 통해 분석 결과를 확인하며, $L \to \infty$ 일 때 분석 예측으로 수렴하는 경향을 보인다.
• XY 체인에서 이중 간격 엔트로피를 분석하여, 국소 자유도가 페르미온이 아닌 점으로 인해 페르미온 및 보존 체인과는 근본적으로 다른 새로운 보편 공식을 밝혀낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고립된 시스템에서 준입자 흥분 상태의 레니 엔트로피는 준입자 운동량에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 기존에 알려진 보편 기여 이외에 추가 보편 항이 존재하는가, 그리고 이는 운동량 차이에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 XY 체인에서의 이중 간격 레니 엔트로피는 페르미온 또는 보존 체인에서는 관찰되지 않는 새로운 보편적 행동을 보이는가?
• RQ4 극도로 고립된 한계에서의 분석 결과가 略로 고립되거나 임계 상태의 시스템으로도 적용 가능한가?
• RQ5 유도된 운동량에 의존하는 보정 항은 수치적으로 관측 가능하며 다양한 모델에서 검증 가능한가?

주요 결과

• 준입자 흥분 상태에서의 레니 엔트로피 제곱 $\mathcal{F}_{A,\psi}^{(n)}$ 는 보편 기여 이외에 추가 항을 포함하며, 이는 어떤 준입자 쌍의 운동량 차이가 작을 경우에 유의미한 영향을 미친다.
• 이 추가 항은 국소 모드의 (반)교환 관계에서 기인하며, '교환 항'으로 불리며, 준입자 운동량이 가까워질수록 크기가 증가한다.
• XY 체인의 이중 간격의 경우, 국소 자유도가 페르미온이 아니므로 페르미온 및 보존 체인과 근본적으로 다른 완전히 새로운 보편 공식이 도출된다.
• $\lambda \to \infty$ 한계에서의 분석 결과는 준입자의 내재된 상관 길이나 de Broglie 파장이 작을 경우 정확한 수치 결과와 완벽하게 일치한다.
• 유한한 $\lambda$ 의 수치 결과가 분석적 $\lambda = \infty$ 한계로 수렴하는 속도는 페르미온 및 XY 체인에서는 $1/L$ 의 비율을, 보존 체인에서는 $1/L^2$ 의 비율을 따른다.
• 유도된 공식은 본 연구에서 다룬 특정 모델을 초월해 보편적이며, XY 체인의 일반적인 $\gamma$, $\lambda$ 매개변수 및 임의의 준입자 운동량에 대해 성립할 것으로 기대되며, 조건 $k_1 \neq k_2$ 가 만족되는 한 성립한다.