[논문 리뷰] Universality of Euler flows and flexibility of Reeb embeddings

Robert Cardona, Eva Miranda외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 05.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고정된 에일러르 흐름의 보편성을 입증하기 위해, 임의의 비자기적 동역학이 고차원 리만 다양체 위에서 벨트라미 유형의 해를 통해 부드럽고 정적인 에일러르 방정식의 해로 확장될 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 정적인 에일러르 흐름이 Turning 완전성을 갖는 것으로, 이는 임의의 보편적 Turning 기계를 시뮬레이션할 수 있고 따라서 결정 불가능한 궤적을 가질 수 있음을 의미한다. 이는 접촉 기하학에서 리브 임베딩에 대한 새로운 h-원리에 의해 가능해졌다.

ABSTRACT

The dynamics of an inviscid and incompressible fluid flow on a Riemannian manifold is governed by the Euler equations. Recently, Tao launched a programme to address the global existence problem for the Euler and Navier Stokes equations based on the concept of universality. Inspired by this proposal, in this article we prove that the stationary Euler equations exhibit several universality features. More precisely, we show that any non-autonomous flow on a compact manifold can be extended to a smooth stationary solution of the Euler equations on some Riemannian manifold of possibly higher dimension. The solutions we construct are of Beltrami type, and being stationary they exist for all time. Using this result, we establish the Turing completeness of the steady Euler flows,i.e., there exist solutions that encode a universal Turing machine and, in particular, these solutions have undecidable trajectories. Our proofs deepen the correspondence between contact topology and hydrodynamics, which is key to establish the universality of the Reeb flows and their Beltrami counterparts. An essential ingredient in the proofs, of interest in itself, is a novel flexibility theorem for embeddings in Reeb dynamics in terms of an h-principle in contact geometry, which unveils the flexible behavior of the steady Euler flows. These results can be viewed as lending support to the intuition that solutions to the Euler equations can be extremely complicated in nature.

연구 동기 및 목표

• 정적인 에일러르 방정식 해가 시간에 따라 변하지 않음에도 불구하고 보편적인 동역학을 나타낼 수 있는지 조사하기 위해.
• 타오의 에일러르 방정식에 대한 보편성 프로그램을 정적이고 벨트라미 유형의 해로 확장하기 위해.
• 접촉 기하학에서 리브 역학과 유체역학 사이의 위상적 대응 관계를 h-원리의 활용을 통해 수립하기 위해.
• 정적 에일러르 흐름이 튜링 완전함을 증명하여 임의의 계산 과정을 인코딩할 수 있음을 입증하기 위해.
• 증명의 핵심 기술적 도구로 사용되는 등장하는 리브 임베딩에 대한 민감도 정리 개발하기 위해.

제안 방법

• 기저 다양체 N에 비자기적 흐름이 존재하는 M = N × T^m 위에서 전단형 메트릭을 사용하여 정적 에일러르 흐름을 구성하기 위해.
• 벨트라미 벡터장의 사용을 통해 해가 정적이고 모든 시간에 대해 존재하도록 보장하기 위해.
• 비자기적 흐름을 접촉 다양체 위의 리브 흐름에 임베딩하기 위해 등장하는 임베딩에 대한 h-원리를 적용하기 위해.
• 리우빌 형식을 통해 N 위의 지오데식성 벡터장과 S(T*N) 위의 리브 역학 사이의 대응 관계 수립하기 위해.
• 소규모 등장 리브 임베딩의 공간이 차원 제약 조건 하에 부드러운 임베딩의 공간과 호모토피 동치임을 증명하기 위해.
• 파arametric h-원리와 호모토피 군의 동형사상 활용을 통해 임베딩 공간의 민감도를 보여주며, 특히 과잉 꼬임이 있는 접촉 다양체에서의 특성 강조하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 비자기적 흐름이 컴acts한 다양체 위에서 고차원 리만 다양체 위의 부드럽고 정적 에일러르 방정식 해로 확장될 수 있는가?
• RQ2 정적 에일러르 흐름이 보편적 계산을 시뮬레이션할 수 있는가, 즉 튜링 완전한가?
• RQ3 접촉 다양체에서 리브 임베딩의 위상적 민감도는 어떠한가, 그리고 이는 유체역학적 보편성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 차원 제약 조건 하에 형식적 및 진정된 등장 리브 임베딩 공간의 호모토피 유형은 어떻게 비교되는가?
• RQ5 접촉 기하학에서의 h-원리는 얼마나 많은 정도로 민감하고 보편적인 유체역학적 해의 구축을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 임의의 비자기적 흐름이 컴 pact한 다양체 위에서 고차원 리만 다양체 위의 부드럽고 정적 에일러르 방정식 해로 확장될 수 있으며, 이는 벨트라미 유형의 벡터장에 의해 가능하다.
• 정적 에일러르 흐름은 튜링 완전하며, 이는 임의의 보편적 튜링 기계를 시뮬레이션할 수 있고 따라서 결정 불가능한 궤적을 가진다는 의미이다.
• 차원이 3 dim N + 2 + k를 초과할 경우, 소규모 등장 리브 임베딩의 공간은 부드러운 임베딩의 공간과 호모토피 동치이다.
• 과잉 꼬임이 있는 접촉 다양체에서, 형식적 등장 리브 임베딩의 포함이 부드러운 임베딩으로의 포함이 차수 k까지 호모토피 군의 동형사상을 유도한다. 이는 차원이 3 dim N + k를 초과할 경우 성립한다.
• 리브 임베딩에 대한 새로운 h-원리가 확립되었으며, 이는 접촉 기하학적 기법을 통해 정적 에일러르 흐름의 민감한 행동을 드러낸다.
• 리우빌 형식을 통한 지오데식성 흐름과 리브 역학 사이의 대응 관계가 형식화되었으며, 이는 임의의 지오데식성 흐름이 구면 코탄젠트 배ndl 위의 리브 흐름에 임베딩될 수 있음을 가능하게 한다.